Enunciado

dificultad
Una cuerda de densidad lineal 40 gr/m se encuentra sometida a una tensión de 5N. En ella se engendra una onda sinusoidal mediante un oscilador armónico que actúa en el origen con una frecuencia de 12Hz y una amplitud de 4cm. Determina la ecuación de la onda en función de x y t sabiendo que en t=0 el oscilador se encuentra en la posición de amplitud máxima.

Solución

Datos

  • Densidad lineal: μ=35g/m=0.035kg/m
  • Tensión de la cuerda: T=5N
  • Frecuencia del oscilador: f=12Hz
  • Ampllitud del oscilador: A=4cm=4·10-2m
  • y(0,0)=A=4·10-2m

Resolución

Supondremos que la onda se propaga hacia la derecha. Sabemos que la ecuación general de una onda que se propaga hacia la derecha puede ser escrita, en una de sus múltiples formas, según:

yx,t=A·sinω·t-k·x+φ0

Dado que conocemos A, se trata ahora de calcular ω, k y φ0. Por un lado, a partir de la frecuencia f podemos determinar ω según:

ω=2·π·f=24·π rad/s

Por otro lado, la longitud de onda λ y el número de onda k se relacionan según k=2·π/λ. Podemos obtener la velocidad de propagación de la onda a partir de la densidad lineal y la tensión de la cuerda:

v=Tμ=540·10-3=11.18 m/s

Y podemos relacionar la velocidad de propagación con la longitud de onda y la frecuencia según:

v=λ·fλ=vf=11.1812=0.93 m

Una vez obtenido λ ya estamos en disposición de calcular k:

k=2·πλ=2·π0.93=6.75 rad/m

Finalmente, para determinar φ0 procederemos teniendo en cuenta que y(0,0)=A, es decir:

y0,0=A=A·sinω·0-k·0+φ01=sinφ0φ0=π2

Con lo que podemos escribir la ecuación de la onda armónica pedida:

yx,t=0.04·sin24·π·t-6.75·x+π2 m=10.04·cos24·π·t-6.75·xm1 sinα+π2=cosα

No hemos encontrado ninguna fórmula destacable en este ejercicio.