Enunciado

dificultad

Una cuerda de densidad lineal 40 gr/m se encuentra sometida a una tensi贸n de 5N. En ella se engendra una onda sinusoidal mediante un oscilador arm贸nico que act煤a en el origen con una frecuencia de 12Hz y una amplitud de 4cm. Determina la ecuaci贸n de la onda en funci贸n de x y t sabiendo que en t=0 el oscilador se encuentra en la posici贸n de amplitud m谩xima.


Soluci贸n

Datos

  • Densidad lineal: 渭=35g/m=0.035kg/m
  • Tensi贸n de la cuerda: T=5N
  • Frecuencia del oscilador: f=12Hz
  • Ampllitud del oscilador: A=4cm=4路10-2m
  • y(0,0)=A=4路10-2m

Resoluci贸n

Supondremos que la onda se propaga hacia la derecha. Sabemos que la ecuaci贸n general de una onda que se propaga hacia la derecha puede ser escrita, en una de sus m煤ltiples formas, seg煤n:

yx,t=A·sinω·t-k·x+φ0

Dado que conocemos A, se trata ahora de calcular , k y 0. Por un lado, a partir de la frecuencia f podemos determinar 蠅 seg煤n:

ω=2·π·f=24·π rad/s

Por otro lado, la longitud de onda y el n煤mero de onda k se relacionan seg煤n k=2路蟺/位. Podemos obtener la velocidad de propagaci贸n de la onda a partir de la densidad lineal y la tensi贸n de la cuerda:

v=Tμ=540·10-3=11.18 m/s

Y podemos relacionar la velocidad de propagaci贸n con la longitud de onda y la frecuencia seg煤n:

v=λ·fλ=vf=11.1812=0.93 m

Una vez obtenido 位 ya estamos en disposici贸n de calcular k:

k=2·πλ=2·π0.93=6.75 rad/m

Finalmente, para determinar 0 procederemos teniendo en cuenta que y(0,0)=A, es decir:

y0,0=A=A·sinω·0-k·0+φ01=sinφ0φ0=π2

Con lo que podemos escribir la ecuaci贸n de la onda arm贸nica pedida:

yx,t=0.04·sin24·π·t-6.75·x+π2 m=10.04·cos24·π·t-6.75·xm1 sinα+π2=cosα

No hemos encontrado ninguna f贸rmula destacable en este ejercicio.