Enunciado

dificultad

Determina la posición de los nodos y vientres de las siguientes ondas estacionarias, así como la separación entre ellos:

  • y=2·sin3·π·x·cos100·π·t m
  • y=2·cos3·π·x·sin100·π·t m
  • y=2·cos3·π·x·cos100·π·t m

Solución

Datos

  • Las ecuaciones de las ondas estacionarias proporcionadas son:
    • y=2·sin3·π·x·cos100·π·t m
    • y=2·cos3·π·x·sin100·π·t m
    • y=2·cos3·π·x·cos100·π·t m

Resolución

En primer lugar, debemos tener claro que son los vientres y los nodos. Los vientres son aquellos puntos de la onda estacionaria que vibran con la m√°xima amplitud. Los nodos son aquellos puntos de la onda estacionaria en los que la onda no vibra. Para determinar unos y otros, nos fijamos en el seno, o en el coseno, seg√ļn corresponda, en el que se encuentra la variable x. Los nodos se encontrar√°n en aquellos valores de x que anulen dicho seno o coseno y las vientres en aquellos valores de x que los hagan 1 o -1.

Onda y=2·sin3·π·x·cos100·π·t m

Vientres:

sin3·π·x=03·π·x=2·n+1·π2x=2·n+16

Por tanto, el primer vientre (n=0) se encuentra en x=1/6 m, el segundo en x=1/2 m, el tercero en x=5/6 m y así sucesivamente. La separación entre vientres queda entonces: 1/2-1/6=5/6-1/2=1/3 m

Nodos:

sin3·π·x=03·π·x=n·πx=n3

Por tanto, el primer nodo n=0 se encuentra en x=0 m, el segundo en x=1/3 m, el tercero en x=2/3 m y así sucesivamente. La separación entre nodos, queda entonces: 1/3-0=2/3-1/3=1/3 m

La separaci√≥n entre un nodo y un vientre se puede calcular a partir del primer nodo y el primer vientre, por ejemplo, seg√ļn: 1/6-0 = 1/6 m y es justamente la mitad de la separaci√≥n entre dos nodos o dos vientres.

Onda y=2·cos3·π·x·sin100·π·t m

Si repetimos el proceso anterior, teniendo en cuenta esta vez el coseno, nos quedar√° que los vientres de esta onda son justamente los nodos de la onda. Observa.

Vientres:

cos3·π·x=±13·π·x=n·πx=n3

Por tanto, el primer vientre n=0 se encuentra en x=0 m, el segundo en x=1/3 m, el tercero en x=2/3 m y así sucesivamente. La separación entre vientres, queda entonces: 1/3-0=2/3-1/3=1/3 m

Nodos:

cos3·π·x=03·π·x=2·n+1·π2x=2·n+16

Por tanto, el primer nodo (n=0) se encuentra en x=1/6 m, el segundo en x=1/2 m, el tercero en x=5/6 m y así sucesivamente. La separación entre nodos queda entonces: 1/2-1/6=5/6-1/2=1/3 m

La separaci√≥n entre un nodo y un vientre se puede calcular a partir del primer nodo y el primer vientre, por ejemplo, seg√ļn: 1/6-0 = 1/6 m y es justamente la mitad de la separaci√≥n entre dos nodos o dos vientres.

Onda y=2·cos3·π·x·cos100·π·t m

El desarrollo para esta onda es exactamente igual que para la anterior, ya que la variable x se encuentra igualmente afectada de un coseno y su n√ļmero de onda es el mismo. As√≠, los nodos y vientres estar√°n en las mismas posiciones.

Ficha de fórmulas

Estas son las principales f√≥rmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teor√≠a de los apartados relacionados. Adem√°s, en ellos encontrar√°s, bajo la pesta√Īa F√≥rmulas, los c√≥digos que te permitir√°n integrar estas f√≥rmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados
y=2·A·sink·x·cosω·t=AT·cosω·t