Enunciado

dificultad

Determina la posici贸n de los nodos y vientres de las siguientes ondas estacionarias, as铆 como la separaci贸n entre ellos:

  • y=2sin3xcos100tm
  • y=2cos3xsin100tm
  • y=2cos3xcos100tm

Soluci贸n

Datos

  • Las ecuaciones de las ondas estacionarias proporcionadas son:
    • y=2sin3xcos100tm
    • y=2cos3xsin100tm
    • y=2cos3xcos100tm

Resoluci贸n

En primer lugar, debemos tener claro que son los vientres y los nodos. Los vientres son aquellos puntos de la onda estacionaria que vibran con la m谩xima amplitud. Los nodos son aquellos puntos de la onda estacionaria en los que la onda no vibra. Para determinar unos y otros, nos fijamos en el seno, o en el coseno, seg煤n corresponda, en el que se encuentra la variable x. Los nodos se encontrar谩n en aquellos valores de x que anulen dicho seno o coseno y las vientres en aquellos valores de x que los hagan 1 o -1.

Onda y=2sin3xcos100tm

Vientres:

sin3x=03x=2n+12x=2n+16

Por tanto, el primer vientre (n=0) se encuentra en x=1/6 m, el segundo en x=1/2 m, el tercero en x=5/6 m y as铆 sucesivamente. La separaci贸n entre vientres queda entonces: 1/2-1/6=5/6-1/2=1/3 m

Nodos:

sin3x=03x=nx=n3

Por tanto, el primer nodo n=0 se encuentra en x=0 m, el segundo en x=1/3 m, el tercero en x=2/3 m y as铆 sucesivamente. La separaci贸n entre nodos, queda entonces: 1/3-0=2/3-1/3=1/3 m

La separaci贸n entre un nodo y un vientre se puede calcular a partir del primer nodo y el primer vientre, por ejemplo, seg煤n: 1/6-0 = 1/6 m y es justamente la mitad de la separaci贸n entre dos nodos o dos vientres.

Onda y=2cos3xsin100tm

Si repetimos el proceso anterior, teniendo en cuenta esta vez el coseno, nos quedar谩 que los vientres de esta onda son justamente los nodos de la onda. Observa.

Vientres:

cos3x=13x=nx=n3

Por tanto, el primer vientre n=0 se encuentra en x=0 m, el segundo en x=1/3 m, el tercero en x=2/3 m y as铆 sucesivamente. La separaci贸n entre vientres, queda entonces: 1/3-0=2/3-1/3=1/3 m

Nodos:

cos3x=03x=2n+12x=2n+16

Por tanto, el primer nodo (n=0) se encuentra en x=1/6 m, el segundo en x=1/2 m, el tercero en x=5/6 m y as铆 sucesivamente. La separaci贸n entre nodos queda entonces: 1/2-1/6=5/6-1/2=1/3 m

La separaci贸n entre un nodo y un vientre se puede calcular a partir del primer nodo y el primer vientre, por ejemplo, seg煤n: 1/6-0 = 1/6 m y es justamente la mitad de la separaci贸n entre dos nodos o dos vientres.

Onda y=2cos3xcos100tm

El desarrollo para esta onda es exactamente igual que para la anterior, ya que la variable x se encuentra igualmente afectada de un coseno y su n煤mero de onda es el mismo. As铆, los nodos y vientres estar谩n en las mismas posiciones.

Ficha de f贸rmulas

Estas son las principales f贸rmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teor铆a de los apartados relacionados. Adem谩s, en ellos encontrar谩s, bajo la pesta帽a F贸rmulas, los c贸digos que te permitir谩n integrar estas f贸rmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

F贸rmulas
Apartados relacionados
y=2Asinkxcost=ATcost