Onda estacionaria en función del coseno

Datos

• Ecuación de la onda que se propaga: $y=3·\cos \left(5·\pi ·t+\frac{\pi }{3}x\right) m$ 

Consideraciones previas

• La onda estacionaria resulta de la superposición de la onda cuya ecuación nos dan, a la que llamaremos y₁, y su reflejada, a la que llamaremos y₂

• Debemos considerar dos casos. En el primero la onda reflejada no tiene inversión de fase. En el segundo sí (invertir el sentido de vibración quiere decir que la fase se invierte). Cuando la fase se invierte debemos sumar π radianes a la fase de la onda

• Una inversión de la fase en la reflexión se produciría por ejemplo en una cuerda cuyo extremo estuviese fijo. Por el contrario, la fase se mantendría si el extremo estuviese libre, como en la onda de la figura

Resolución

Caso de que no haya inversión de fase:

$$\left.\begin{array}{r}{y}_1=3·cos\left(5·\pi ·t+\frac{\pi }{3}x\right)\\ y_2=3·cos\left(5·\pi ·t-\frac{\pi }{3}x\right)\end{array}\right\}{y}_T=y_1+y_2=3·\left(cos\left(5·\pi ·t+\frac{\pi }{3}x\right)+cos\left(5·\pi ·t-\frac{\pi }{3}x\right)\right)$$ 

Ahora bien, para llegar a una expresión más simplificada tenemos dos opciones:

• Convertir los cosenos en senos mediante la igualdad $\cos \left(A\right)=\sin \left(A+\pi /2\right)$  y aplicar la misma expresión que en el apartado teórico, es decir, $\sin \left(A\right)+\sin \left(B\right)=2·\sin \left(\frac{A+B}{2}\right)·\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$ 
• Aplicar la relación equivalente a la anterior pero para los cosenos, es decir,$\cos \left(A\right)+\cos \left(B\right)=2·\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)·\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$ 

Procederemos según la segunda opción:

$$y_T=3·2·\cos \left(\frac{\left(5·\pi ·t+\frac{\pi }{3}x\right)-\left(5·\pi ·t-\frac{\pi }{3}x\right)}{2}\right)·\cos \left(\frac{\left(5·\pi ·t+\frac{\pi }{3}x\right)+\left(5·\pi ·t-\frac{\pi }{3}x\right)}{2}\right)=6·cos\left(\frac{\pi }{3}x\right)·\cos \left(5·\pi ·t\right) m$$

Por otro lado, si consideramos que se produce inversión de fase, tendríamos:

$$\left.\begin{array}{r}{y}_1=3·cos\left(5·\pi ·t+\frac{\pi }{3}x\right)\\ y_2=3·cos\left(5·\pi ·t-\frac{\pi }{3}x+\pi \right)\end{array}\right\}{y}_T=y_1+y_2=3·\left(cos\left(5·\pi ·t+\frac{\pi }{3}x\right)+cos\left(5·\pi ·t-\frac{\pi }{3}x+\pi \right)\right)$$

Y procediendo de forma similar, tenemos:

$$y_T=3·2·\cos \left(\frac{\left(5·\pi ·t+\frac{\pi }{3}x\right)-\left(5·\pi ·t-\frac{\pi }{3}x+\pi \right)}{2}\right)·\cos \left(\frac{\left(5·\pi ·t+\frac{\pi }{3}x\right)+\left(5·\pi ·t-\frac{\pi }{3}x+\pi \right)}{2}\right)=6·cos\left(\frac{\pi }{3}x-\frac{\pi }{2}\right)·\cos \left(5·\pi ·t+\frac{\pi }{2}\right) m$$