Enunciado

dificultad

En una cuerda se propaga de derecha a izquierda una onda de ecuaci贸n y=3·cos5·π·t+π3x  m . Al llegar al extremo, la onda se refleja. Calcula la ecuaci贸n de la onda estacionaria que se generar谩 si:

  • No se produce inversi贸n de fase en la reflexi贸n
  • Hay una inversi贸n en el sentido de vibraci贸n

Soluci贸n

Datos

  • Ecuaci贸n de la onda que se propaga: y=3·cos5·π·t+π3x m 

Consideraciones previas

  • La onda estacionaria resulta de la superposici贸n de la onda cuya ecuaci贸n nos dan, a la que llamaremos y1, y su reflejada, a la que llamaremos y2

  • Debemos considerar dos casos. En el primero la onda reflejada no tiene inversi贸n de fase. En el segundo s铆 (invertir el sentido de vibraci贸n quiere decir que la fase se invierte). Cuando la fase se invierte debemos sumar 蟺 radianes a la fase de la onda

  • Una inversi贸n de la fase en la reflexi贸n se producir铆a por ejemplo en una cuerda cuyo extremo estuviese fijo. Por el contrario, la fase se mantendr铆a si el extremo estuviese libre, como en la onda de la figura

 

Resoluci贸n

Caso de que no haya inversi贸n de fase:

y1=3·cos5·π·t+π3xy2=3·cos5·π·t-π3xyT=y1+y2=3·cos5·π·t+π3x+cos5·π·t-π3x 

Ahora bien, para llegar a una expresi贸n m谩s simplificada tenemos dos opciones:

  • Convertir los cosenos en senos mediante la igualdad cosA=sinA+π/2  y aplicar la misma expresi贸n que en el apartado te贸rico, es decir, sinA+sinB=2·sinA+B2·cosA-B2 
  • Aplicar la relaci贸n equivalente a la anterior pero para los cosenos, es decir,cosA+cosB=2·cosA+B2·cosA-B2 

Procederemos seg煤n la segunda opci贸n:

yT=3·2·cos5·π·t+π3x-5·π·t-π3x2·cos5·π·t+π3x+5·π·t-π3x2=6·cosπ3x·cos5·π·t m

Por otro lado, si consideramos que se produce inversi贸n de fase, tendr铆amos:

y1=3·cos5·π·t+π3xy2=3·cos5·π·t-π3x+πyT=y1+y2=3·cos5·π·t+π3x+cos5·π·t-π3x+π

Y procediendo de forma similar, tenemos:

yT=3·2·cos5·π·t+π3x-5·π·t-π3x+π2·cos5·π·t+π3x+5·π·t-π3x+π2=6·cosπ3x-π2·cos5·π·t+π2 m

No hemos encontrado ninguna f贸rmula destacable en este ejercicio.