Enunciado

dificultad

En una cuerda se propaga de derecha a izquierda una onda de ecuación y=3·cos5·π·t+π3x  m . Al llegar al extremo, la onda se refleja. Calcula la ecuación de la onda estacionaria que se generará si:

  • No se produce inversión de fase en la reflexión
  • Hay una inversión en el sentido de vibración

Solución

Datos

  • Ecuación de la onda que se propaga: y=3·cos5·π·t+π3x m 

Consideraciones previas

  • La onda estacionaria resulta de la superposición de la onda cuya ecuación nos dan, a la que llamaremos y1, y su reflejada, a la que llamaremos y2

  • Debemos considerar dos casos. En el primero la onda reflejada no tiene inversión de fase. En el segundo sí (invertir el sentido de vibración quiere decir que la fase se invierte). Cuando la fase se invierte debemos sumar π radianes a la fase de la onda

  • Una inversión de la fase en la reflexión se produciría por ejemplo en una cuerda cuyo extremo estuviese fijo. Por el contrario, la fase se mantendría si el extremo estuviese libre, como en la onda de la figura

 

Resolución

Caso de que no haya inversión de fase:

y1=3·cos5·π·t+π3xy2=3·cos5·π·t-π3xyT=y1+y2=3·cos5·π·t+π3x+cos5·π·t-π3x 

Ahora bien, para llegar a una expresión más simplificada tenemos dos opciones:

  • Convertir los cosenos en senos mediante la igualdad cosA=sinA+π/2  y aplicar la misma expresión que en el apartado teórico, es decir, sinA+sinB=2·sinA+B2·cosA-B2 
  • Aplicar la relación equivalente a la anterior pero para los cosenos, es decir,cosA+cosB=2·cosA+B2·cosA-B2 

Procederemos según la segunda opción:

yT=3·2·cos5·π·t+π3x-5·π·t-π3x2·cos5·π·t+π3x+5·π·t-π3x2=6·cosπ3x·cos5·π·t m

Por otro lado, si consideramos que se produce inversión de fase, tendríamos:

y1=3·cos5·π·t+π3xy2=3·cos5·π·t-π3x+πyT=y1+y2=3·cos5·π·t+π3x+cos5·π·t-π3x+π

Y procediendo de forma similar, tenemos:

yT=3·2·cos5·π·t+π3x-5·π·t-π3x+π2·cos5·π·t+π3x+5·π·t-π3x+π2=6·cosπ3x-π2·cos5·π·t+π2 m

No hemos encontrado ninguna fórmula destacable en este ejercicio.