Velocidad de propagación y frecuencias en cuerda fija por dos extremos

Datos

• Longitud cuerda: L=40m
• Frecuencia de excitación: f=90Hz
• Número de vientre: n=3

Resolución

En una cuerda fija por ambos extremos, la longitud de la cuerda se relaciona con la longitud de onda y el número de vientres según:

$${\lambda }_n=\frac{2·L}{n}$$

Con lo que la longitud de onda nos queda:

$${\lambda }_n=\frac{2·L}{n}=\frac{2·40}{3}=26.6 m$$

La velocidad de propagación de las ondas, que es constante en el medio, se determina a partir de su relación con la longitud de onda y la frecuencia:

$$v=\lambda ·f={\lambda }_n·f_n=26.6·90=2394 m/s$$

Finalmente, nos piden que busquemos frecuencias inferiores que también den lugar a ondas estacionarias en la cuerda. Existen dos frecuencias inferiores que cumplen esta condición, la del primer (n=1) y el segundo (n=2) armónico. Cada una de ellas tendrá su propia longitud de onda asociada, pero deben cumplir una relación tal que la velocidad de las ondas permanezca constante (es decir, igual a la velocidad calculada para el tercer armónico):

$$\begin{array}{l}{f}_1=\frac{v}{{\lambda }_1}\Rightarrow f_1=1·\frac{v}{2·L}=\frac{2394}{2·40}=29.925 Hz\\ f_2=\frac{v}{{\lambda }_2}\Rightarrow f_3=2·\frac{v}{2·L}=\frac{2394}{40}=59.85 Hz\end{array}$$ 

…donde observa que, una vez más, hemos relacionado la longitud de onda de cada armónico con la longitud de la cuerda según λ_n=(2·L)/n.