Enunciado

dificultad

Una onda estacionaria se encuentra descrita por la siguiente funci贸n

y=0.8sin6xcos15tm

  1. Realiza una gr谩fica de la onda estacionaria.
  2. 驴Cu谩l es el m谩ximo desplazamiento que experimenta un punto que se encuentra a 5/12聽m del origen?驴Y uno que se encuentre a 0.35 m?
  3. 驴Cual es la m谩xima velocidad que alcanza un punto que se encuentra a 5/12聽m del origen?驴Y uno que se encuentre a 0.35 m?

Soluci贸n

Datos

  • La ecuaci贸n de la onda estacionaria y=0.8sin6xcos15tm
  • Distancia del punto 1 al origen x1聽= 5/12 m
  • Distancia del punto 2聽al origen x2聽= 0.35聽m

Resoluci贸n

Sabemos que la onda estacionaria oscila entre su m谩ximo (0.8) y su m铆nimo (-0.8). Buscaremos la posici贸n de los vientres y los nodos a fin de poder representarla.

Vientres:

sin6x=16x=2n+12x=2n+1112m

Nodos:

sin6x=06x=nx=n6m

La longitud de onda es k=6=2=13m. Observa que la separaci贸n entre un vientre y un nodo es justamente un cuarto de la longitud de onda. Adem谩s, los vientres se sit煤an en aquellos puntos cuya distancia al origen es un n煤mero impar de cuartos de longitud de onda, y los nodos en aquellos puntos cuya distancia a este es un n煤mero par de cuartos de longitud de onda. Con toda esta informaci贸n ya estamos en condiciones de dibujar nuestra onda estacionaria:

Onda estacionaria

Para determinar el m谩ximo desplazamiento dmax de un punto a una determinada distancia del origen xi calculamos su amplitud resultante (AT). La elongaci贸n de dicho punto variar谩 entre -AT y AT, dependiendo del signo de cos(蠅路t) (dicha part铆cula no describe m谩s que un m.a.s cuya amplitud est谩 dada por AT). Por tanto, el m谩ximo desplazamiento ser谩 dmax=2路AT. Recuerda que AT es el t茅rmino que acompa帽a a cos(蠅路t) en la ecuaci贸n de la onda estacionaria, es decir: AT=0.8路sin(6路蟺路x). En realidad, para un valor xi concreto AT puede ser positivo o negativo (seg煤n el signo de sin(6路蟺路xi)). Pero s贸lo nos interesar谩 el valor positivo (valor absoluto) para determinar el desplazamiento, siendo m谩s correcto escribir dmax=2路|AT|.

Considerando el primer punto x1=5/12 nos queda que el m谩ximo desplazamiento dmax:

dmax=2AT=20.8sin65/121=1.6m

Observa que dicho punto corresponde a un vientre (5/12 = (2路n+1)/12 con n = 2).

Considerando el segundo punto x2=0.35, nos queda que el m谩ximo desplazamiento dmax:

dmax=2AT=20.8sin60.35=0.49m

Por lo que no se trata de un vientre ni de un nodo.

En relaci贸n a la velocidad m谩xima, esta se producir谩 cuando las part铆culas pasen por la posici贸n de equilibrio, es decir, y=0. En cualquier caso, y dado que la ecuaci贸n de la onda estacionaria nos marca la posici贸n y, derivando dicha posici贸n respecto al tiempo obtenemos la ecuaci贸n de la velocidad, tal y como vimos al estudiar la velocidad del m.a.s.

v=yt=t0.8sin6xcos15t=-0.8sin6x15sin15t=-12sin6xsin15t

Si consideramos el primer punto x1=5/12, y teniendo en cuenta que el valor m谩ximo de velocidad se producir谩 cuando sin(15路蟺路t) valga 1 o -1, nos queda:

vmax=-12sin65/12=37.69m/s

Mientras que en el caso de x2=0.35, tenemos:

vmax=-12sin60.35=11.64m/s

Ficha de f贸rmulas

Estas son las principales f贸rmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teor铆a de los apartados relacionados. Adem谩s, en ellos encontrar谩s, bajo la pesta帽a F贸rmulas, los c贸digos que te permitir谩n integrar estas f贸rmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

F贸rmulas
Apartados relacionados
y=2Asinkxcost=ATcost
k=2=v
v=yt