Gráfica, desplazamiento y velocidad de onda estacionaria

Datos

• La ecuación de la onda estacionaria $$y=0.8·\sin \left(6·\pi ·x\right)·\cos \left(15·\pi ·t\right) m$$
• Distancia del punto 1 al origen x₁ = 5/12 m
• Distancia del punto 2 al origen x₂ = 0.35 m

Resolución

Sabemos que la onda estacionaria oscila entre su máximo (0.8) y su mínimo (-0.8). Buscaremos la posición de los vientres y los nodos a fin de poder representarla.

Vientres:

$$\sin \left(6·\pi ·x\right)=\pm 1\Rightarrow 6·\pi ·x=\left(2·n+1\right)·\frac{\pi }{2}\Rightarrow x=\left(2·n+1\right)·\frac{1}{12} m$$ 

Nodos:

$$\sin \left(6·\pi ·x\right)=0\Rightarrow 6·\pi ·x=n·\pi \Rightarrow x=\frac{n}{6} m$$ 

La longitud de onda es $k=6·\pi =\frac{2·\pi }{\lambda }\Rightarrow \lambda =\frac{1}{3}m$. Observa que la separación entre un vientre y un nodo es justamente un cuarto de la longitud de onda. Además, los vientres se sitúan en aquellos puntos cuya distancia al origen es un número impar de cuartos de longitud de onda, y los nodos en aquellos puntos cuya distancia a este es un número par de cuartos de longitud de onda. Con toda esta información ya estamos en condiciones de dibujar nuestra onda estacionaria:

Para determinar el máximo desplazamiento d_max de un punto a una determinada distancia del origen x_i calculamos su amplitud resultante (A_T). La elongación de dicho punto variará entre -A_T y A_T, dependiendo del signo de cos(ω·t) (dicha partícula no describe más que un m.a.s cuya amplitud está dada por A_T). Por tanto, el máximo desplazamiento será d_max=2·A_T. Recuerda que A_T es el término que acompaña a cos(ω·t) en la ecuación de la onda estacionaria, es decir: A_T=0.8·sin(6·π·x). En realidad, para un valor x_i concreto A_T puede ser positivo o negativo (según el signo de sin(6·π·x_i)). Pero sólo nos interesará el valor positivo (valor absoluto) para determinar el desplazamiento, siendo más correcto escribir d_max=2·|A_T|.

Considerando el primer punto x₁=5/12 nos queda que el máximo desplazamiento d_max:

$$d_{max}=2·\left|A_T\right|=2·0.8·\underset{1}{\underbrace{\sin \left(6·\pi ·5/12\right)}}=1.6 m$$

Observa que dicho punto corresponde a un vientre (5/12 = (2·n+1)/12 con n = 2).

Considerando el segundo punto x₂=0.35, nos queda que el máximo desplazamiento d_max:

$$d_{max}=2·\left|A_T\right|=2·0.8·\sin \left(6·\pi ·0.35\right)=0.49 m$$

Por lo que no se trata de un vientre ni de un nodo.

En relación a la velocidad máxima, esta se producirá cuando las partículas pasen por la posición de equilibrio, es decir, y=0. En cualquier caso, y dado que la ecuación de la onda estacionaria nos marca la posición y, derivando dicha posición respecto al tiempo obtenemos la ecuación de la velocidad, tal y como vimos al estudiar la velocidad del m.a.s.

$$\begin{gathered} v=\frac{\partial y}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial t}\left(0.8·\sin \left(6·\pi ·x\right)·\cos \left(15·\pi ·t\right)\right)=-0.8·\sin \left(6·\pi ·x\right)·15·\pi ·\sin \left(15·\pi ·t\right)= \\ -12·\pi ·\sin \left(6·\pi ·x\right)·\sin \left(15·\pi ·t\right) \end{gathered}$$

Si consideramos el primer punto x₁=5/12, y teniendo en cuenta que el valor máximo de velocidad se producirá cuando sin(15·π·t) valga 1 o -1, nos queda:

$$v_{max}=\left|-12·\pi ·\sin \left(6·\pi ·5/12\right)\right|=37.69 m/s$$

Mientras que en el caso de x₂=0.35, tenemos:

$$v_{max}=\left|-12·\pi ·\sin \left(6·\pi ·0.35\right)\right|=11.64 m/s$$