Ondas estacionarias en tubos de aire

Datos

• Longitud del tubo: L
• Velocidad del sonido en el aire: v=340m/s 

Consideraciones previas

La ecuación de las ondas estacionarias en los tubos es similar a la de las ondas estacionarias en cualquier otro medio, es decir en la forma de $y=2·A·\sin \left(k·x\right)·\cos \left(\omega ·t\right)$, lo cual se traduce en que los nodos se encuentran separados entre si media longitud de onda, al igual que los vientres. Unos con otros están separados un cuarto de longitud de onda.

Resolución

Como nos dice el enunciado, en un tubo abierto sólo por uno de sus extremos habrá un nodo de desplazamiento en el extremo cerrado y un vientre en el abierto, de manera que podemos encontrar la siguiente relación entre la longitud de onda y la longitud del tubo según:

$$L=\frac{\lambda }{4};\hspace{0.17em}L=3·\frac{\lambda }{4};L=5·\frac{\lambda }{4}\Rightarrow \boxed{{\lambda }_n=\frac{4·L}{n}}$$

Donde n=1,3,5…, es decir, sólo existen los armónicos impares. Por otro lado, podemos relacionar las longitudes de onda con las frecuencias de los armónicos a partir de la velocidad de la onda:

$$v=\lambda ·f\Rightarrow f_n=\frac{v}{{\lambda }_n}\Rightarrow \boxed{f_n=n·\frac{v}{4·L}}$$

Donde el valor de v será de 340 m/s. La imagen siguiente te puede servir de ayuda para visualizar las expresiones anteriores:

En caso de que ambos extremos estén abiertos, lo que tenemos es dos vientres de desplazamiento. Sabemos que los vientres se encuentran separados al menos λ/2, por lo que:

$$L=\frac{\lambda }{2};\hspace{0.17em}L=2·\frac{\lambda }{2};L=3·\frac{\lambda }{2}\Rightarrow \boxed{{\lambda }_n=\frac{2·L}{n}}$$

Donde n=1,2,3…, es decir, existen todos los armónicos en este caso. Una vez más, podemos relacionar las longitudes obtenidas con las frecuencias posibles de los armónicos a partir de la velocidad de la onda quedando:

$$v=\lambda ·f\Rightarrow f_n=\frac{v}{{\lambda }_n}\Rightarrow \boxed{f_n=n·\frac{v}{2·L}}$$

Donde el valor de v será de 340 m/s. La imagen siguiente te puede servir de ayuda para visualizar las expresiones anteriores: