Enunciado

dificultad
Dificultad intermedia para los ejercicios de nivel experto

Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento así como los máximos y mínimos de las siguientes funciones racionales:

  1. fx=x2+1x2-1
  2. fx=x2-1x2+1
  3. fx=2x3+x2-4x2-4
  4. fx=5x2x-4

Solución

Consideraciones previas

Vamos a seguir la regla práctica expuesta en el apartado dedicado al cálculo de máximos y mínimos.

  1. El cálculo del dominio, que en el caso de las funciones racionales de este apartado se obtiene quitando del conjunto de los reales aquellos valores que anulan el denominador
  2. Obtenemos los puntos singulares de la función, esto es, obtenemos la derivada de f(x), la igualamos a 0 y despejamos
  3. Los puntos críticos de la función (aquellos en los que la función puede cambiar su crecimiento) serán los singulares y los que hemos quitado del dominio. Estos puntos dividen la recta real en varios intervalos. Estudiamos el signo de la primera derivada en cada uno de ellos a través de un cuadro de signos
  4. En los intervalos en que la primera derivada es positiva, la función original es creciente. En los que es negativa la función original es decreciente.
  5. En los puntos críticos en los que haya un cambio de tendencia (de crecimiento a decrecimiento o viceversa) habrá extremos relativos (máximos o mínimos)

También puedes ampliar información sobre funciones racionales, en general, en el apartado enlazado.

Resolución

1.-

fx=x2+1x2-1

Comenzamos calculando el dominio...

x2-1=0⇒x=±1⇒Domf=ℝ-{-1,1}

Calculamos los puntos singulares, igualando la primera derivada a 0:

f'x=2xx2-1-2xx2+1x2-12=-4xx2-12⇒f'x=0⇒-4x=0⇒x=0

Construimos la tabla de signos de la primera derivada, con los puntos críticos:

-∞,-1-1,00,11,∞signo f'++--

Ahora estamos en disposición de afirmar que:

  • Intervalos de crecimiento: (-∞,0), y (-1,0)
  • Intervalos de decrecimiento (-0,1) y (1,∞)
  • Los puntos de abscisas x=-1 y x=1 no pertenecen al dominio, con lo que no son candidatos a extremos (pero sí a asíntotas)
  • En x=0 la función pasa de creciente a decreciente, siendo un máximo

2.-

fx=x2-1x2+1

En este caso el dominio es el conjunto de los reales, ya que el denominador no se anula nunca. Buscamos la primera derivada y la igualamos a 0 para encontrar los puntos críticos:

f'x=2xx2+1-x2-12xx2+12=4xx2+12⇒f'x=0⇒4x=0⇒x=0

En el cuadro de signos nos queda...

-∞,00,∞signo f'-+

Por tanto, la función es decreciente en el intervalo (-∞,0) y creciente en el intervalo (0,∞). Como 0 pertenece al dominio, y la función es decreciente a su izquierda y creciente a su derecha, se trata de un mínimo.

3.-

fx=2x3+x2-4x2-4

En este caso el dominio de la función se obtiene quitando del conjunto de los reales los valores que hacen cero el denominador:

x2-4=0⇒x=±2⇒Domf=ℝ--2,2

Buscamos la primera derivada y la igualamos a cero:

f'x=6x2+2xx2-4-2x2x3+x2-4x2-42=2x4-24x2x2-42⇒f'x=0⇒2x4-24x2=0⇒⇒x22x2-24⇒x1=0x2=-12x3=12 

Estudiamos ahora el signo de la primera derivada a partir de un cuadro de signos:

-∞,-12-12,-2-2,00,22,1212,∞signo f'+----+

Observa que, para determinar el signo de la primera derivada en cada intervalo, simplemente evaluamos la derivada en un valor arbitrario de dicho intervalo. Por ejemplo, en el intervalor (-2,0) tomamos el valor -1, siendo  f'-1=2-14-24-12-12-42<0.

Del cuadro anterior podemos extraer la siguiente información:

  • Intervalos de decrecimiento: (-√12,-2), (-2,0), (0,2) y (2,√12 )
  • Intervalos de crecimiento (-∞,-√12) y (√12,∞)
  • Los puntos de abscisas x=-2 y x=2 no pertenecen al dominio, con lo que no son candidatos a extremos (sí a asíntotas)
  • En x=-√12 la función pasa de creciente a decreciente, siendo un máximo
  • En x=√12 la función pasa de decreciente a creciente, siendo un mínimo
  • En x=0 tenemos un punto silla

4.-

fx=5x2x-4

Comenzamos igualando a 0 el denominador para determinar el dominio:

x2x-4=0x=0x=4⇒Domf=ℝ-{0,4}

La primera derivada nos da los puntos singulares:

f'x=-52xx-4+x2x2x-4=-53x2-8xx2x-4⇒f'x=0⇒-53x2-8x=0⇒⇒3x2-8x=0⇒x1=0x2=8/3

En el cuadro de signos nos queda...

-∞,00, 8/38/3, 44, ∞signo f'-+--

Con lo que tenemos:

  • Intervalos de decrecimiento (-∞,0), (8/3, 4) y (4,∞)
  • Intervalos de crecimiento (0, 8/3)
  • Aunque 0 anula la primera derivada, no está en el dominio, por lo que no es candidato a mínimo
  • En 8/3 hay un máximo al ser la función creciente a su izquierda y decreciente a su derecha
Autor artículo
Sobre el autor
José Luis Fernández Yagües es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la física, las matemáticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

Fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados
fx=xn⇒f'x=n·xn-1 ∀n∈ℝ
Df+g=f'+g' ; Df-g=f'-g'
Df·g=f'·g+f·g'
Dfg=f'·g-f·g'g2

x=-b±b2-4ac2a

f'x0=0 ó ∄f'x0

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