Enunciado

dificultad

Dado el esquema de la figura, calcular la aceleración de ambas masas sabiendo que el coeficiente de rozamiento cinético es 0.1.


Solución

Datos

mA = 7 kg
mB = 5 kg
őľ = 0.1

aA = ?
aB = ?

Resolución

Consideraciones previas

  • La cuerda es inextensible y de masa despreciable.
  • La polea tiene masa despreciable.
  • Como no conocemos el sentido del movimiento, SIEMPRE tendremos que suponer alguno. Aleatoriamente elegiremos que el cuerpo B (la pesa) consigue tirar del cuerpo A (caja) pendiente arriba.

Una vez establecidas las consideraciones anteriores, vamos a estudiar las fuerzas que intervienen en los cuerpos anteriores (diagrama de cuerpo libre).

Masa A (Caja)

Las fuerzas que intervienen en la caja durante su ascenso:

  • Como hemos supuesto que el cuerpo asciende por el plano, tenemos que tener en cuenta la fuerza de rozamiento (FR), que por definici√≥n tiene sentido contrario al movimiento.
  • Por otro lado, el cuerpo tendr√° su peso (P), que puede descomponerse en dos fuerzas Px y Py que coinciden con el eje de coordenadas.
  • La fuerza normal (N).
  • La tensi√≥n de la cuerda (TBA) que empuja a la caja pendiente arriba.

Aplicando el principio fundamental o segunda ley de Newton, sobre las resultantes de cada eje:

T→BA+F→R+P→X=mA·a→AxN→+P→y=mA·a→Ay

Si trabajamos √ļnicamente con los m√≥dulos, daremos valor negativo a las fuerzas que se orientan hacia su semieje negativo y positivo a las que se orienten hacia el semieje positivo, tal y como establece el criterio de signos seg√ļn los ejes cartesianos que vimos en el apartado Problemas de Fuerzas: Criterios de Signos.

TBA-FR-PX=mA·aAxN-Py=mA·aAy

Dado que la caja √ļnicamente se mueve a lo largo del eje x, aAy=0 y aAx=aA

TBA-FR-PX=mA¬∑aAN=Py¬†‚áíTBA-őľ¬∑N-mA¬∑g¬∑sinőĪ=mA¬∑aAN=mA¬∑g¬∑cosőĪ

Sustituyendo el valor de N en la primera ecuación, obtenemos que:

TBA-őľ¬∑mA¬∑g¬∑cosőĪ-mA¬∑g¬∑sinőĪ=mA¬∑aA¬†¬†¬†¬†[1]

Masa B (Pesa)

Las fuerzas que intervienen en la pesa durante su descenso:

  • El peso (P) del cuerpo.
  • La Tensi√≥n de la cuerda (TAB) que evita que el cuerpo caiga libremente por la acci√≥n de su peso.

Sabiendo en este caso que √ļnicamente el movimiento y las fuerzas se producen a lo largo del eje y (aBx=0, aBy=aB), si aplicamos la misma metodolog√≠a que en el cuerpo anterior:

TAB-P=mB·aB ⇒TAB-mB·g = mB·aB ⇒TAB=mB·aB+mB·g     [2]

Dado que la cuerda tiene masa despreciable y es inextensible, se cumple que TAB=TBA. Por tanto, sustituyendo la ecuación [2], en la ecuación [1], obtenemos que:

mB¬∑aB+mB¬∑g-őľ¬∑mA¬∑g¬∑cosőĪ-mA¬∑g¬∑sinőĪ=mA¬∑aA

Dado que la cuerda es inextensible y sin masa, el modulo de la aceleración del cuerpo A es el mismo que el módulo de la aceleración del cuerpo B, sin embargo mientras que Aa se orienta hacia el semieje x positivo, aB lo hace hacia el negativo, por lo que aplicando el criterio de signos: aA=-aB.

-mB¬∑aA+mB¬∑g-őľ¬∑mA¬∑g¬∑cosőĪ-mA¬∑g¬∑sinőĪ=mA¬∑aA

Por ultimo, si sustituimos los valores para calcular aA, obtenemos que:

-5·aA+5·9.8-0.1·7·9.8·cos30-7·9.8·sin30=7·aA ⇒aA=0.73 m/s2aB=-0.73m/s2

A todos los efectos, la intensidad del valor de la aceleración de los cuerpos es el mismo, sin embargo el valor negativo de la aceleración del cuerpo B nos indica que su sentido es el del semieje negativo de sus sistema de referencia.

No hemos encontrado ninguna fórmula destacable en este ejercicio.