Masa enlazada en plano inclinado

Datos

m_A = 7 kg
m_B = 5 kg
μ = 0.1

a_A = ?
a_B = ?

Resolución

Consideraciones previas

• La cuerda es inextensible y de masa despreciable.
• La polea tiene masa despreciable.
• Como no conocemos el sentido del movimiento, SIEMPRE tendremos que suponer alguno. Aleatoriamente elegiremos que el cuerpo B (la pesa) consigue tirar del cuerpo A (caja) pendiente arriba.

Una vez establecidas las consideraciones anteriores, vamos a estudiar las fuerzas que intervienen en los cuerpos anteriores (diagrama de cuerpo libre).

Masa A (Caja)

Las fuerzas que intervienen en la caja durante su ascenso:

• Como hemos supuesto que el cuerpo asciende por el plano, tenemos que tener en cuenta la fuerza de rozamiento (F_R), que por definición tiene sentido contrario al movimiento.
• Por otro lado, el cuerpo tendrá su peso (P), que puede descomponerse en dos fuerzas P_x y P_y que coinciden con el eje de coordenadas.
• La fuerza normal (N).
• La tensión de la cuerda (T_BA) que empuja a la caja pendiente arriba.

Aplicando el principio fundamental o segunda ley de Newton, sobre las resultantes de cada eje:

$$\begin{gathered} {\overrightarrow{T}}_{BA}+{\overrightarrow{F}}_R+{\overrightarrow{P}}_X=m_A·{\overrightarrow{a}}_{Ax} \\ \overrightarrow{N}+{\overrightarrow{P}}_y=m_A·{\overrightarrow{a}}_{Ay} \end{gathered}$$

Si trabajamos únicamente con los módulos, daremos valor negativo a las fuerzas que se orientan hacia su semieje negativo y positivo a las que se orienten hacia el semieje positivo, tal y como establece el criterio de signos según los ejes cartesianos que vimos en el apartado Problemas de Fuerzas: Criterios de Signos.

$$\begin{gathered} T_{BA}-F_R-P_X=m_A·a_{Ax} \\ N-P_y=m_A·a_{Ay} \end{gathered}$$

Dado que la caja únicamente se mueve a lo largo del eje x, a_Ay=0 y a_Ax=a_A

$$\begin{gathered} \left.\begin{array}{r}{T}_{BA}-F_R-P_X=m_A·a_A\\ N=Py\end{array}\right\} \Rightarrow \\ \left.\begin{array}{r}{T}_{BA}-\mu ·N-m_A·g·\sin \left(\alpha \right)=m_A·a_A\\ N=m_A·g·\cos \left(\alpha \right)\end{array}\right\} \end{gathered}$$

Sustituyendo el valor de N en la primera ecuación, obtenemos que:

$$\underline{T_{BA}-\mu ·m_A·g·\cos \left(\alpha \right)-m_A·g·\sin \left(\alpha \right)=m_A·a_A} \left[1\right]$$

Masa B (Pesa)

Las fuerzas que intervienen en la pesa durante su descenso:

• El peso (P) del cuerpo.
• La Tensión de la cuerda (T_AB) que evita que el cuerpo caiga libremente por la acción de su peso.

Sabiendo en este caso que únicamente el movimiento y las fuerzas se producen a lo largo del eje y (a_Bx=0, aBy=a_B), si aplicamos la misma metodología que en el cuerpo anterior:

$$\begin{gathered} T_{AB}-P=m_B·a_B \Rightarrow \\ {T}_{AB}-m_B·g = m_B·a_B \Rightarrow \\ \underline{T_{AB}=m_B·a_B+m_B·g} \left[2\right] \end{gathered}$$

Dado que la cuerda tiene masa despreciable y es inextensible, se cumple que T_AB=T_BA. Por tanto, sustituyendo la ecuación [2], en la ecuación [1], obtenemos que:

$$m_B·a_B+m_B·g-\mu ·m_A·g·\cos \left(\alpha \right)-m_A·g·\sin \left(\alpha \right)=m_A·a_A$$

Dado que la cuerda es inextensible y sin masa, el modulo de la aceleración del cuerpo A es el mismo que el módulo de la aceleración del cuerpo B, sin embargo mientras que Aa se orienta hacia el semieje x positivo, aB lo hace hacia el negativo, por lo que aplicando el criterio de signos: aA=-aB.

$$-m_B·a_A+m_B·g-\mu ·m_A·g·\cos \left(\alpha \right)-m_A·g·\sin \left(\alpha \right)=m_A·a_A$$

Por ultimo, si sustituimos los valores para calcular aA, obtenemos que:

$$\begin{gathered} -5·a_A+5·9.8-0.1·7·9.8·\cos \left(30\right)-7·9.8·\sin \left(30\right)=7·a_A \Rightarrow \\ \boxed{a_A=0.73 m/s^2 \\ {a}_B=-0.73m/s^2} \end{gathered}$$

A todos los efectos, la intensidad del valor de la aceleración de los cuerpos es el mismo, sin embargo el valor negativo de la aceleración del cuerpo B nos indica que su sentido es el del semieje negativo de sus sistema de referencia.