Enunciado

dificultad

Dado el esquema de la figura, calcular la aceleraci贸n de ambas masas sabiendo que el coeficiente de rozamiento cin茅tico es 0.1.


Soluci贸n

Datos

mA = 7 kg
mB = 5 kg
渭 = 0.1

aA = ?
aB = ?

Resoluci贸n

Consideraciones previas

  • La cuerda es inextensible y de masa despreciable.
  • La polea tiene masa despreciable.
  • Como no conocemos el sentido del movimiento, SIEMPRE tendremos que suponer alguno. Aleatoriamente elegiremos que el cuerpo B (la pesa) consigue tirar del cuerpo A (caja) pendiente arriba.

Una vez establecidas las consideraciones anteriores, vamos a estudiar las fuerzas que intervienen en los cuerpos anteriores (diagrama de cuerpo libre).

Masa A (Caja)

Las fuerzas que intervienen en la caja durante su ascenso:

  • Como hemos supuesto que el cuerpo asciende por el plano, tenemos que tener en cuenta la fuerza de rozamiento (FR), que por definici贸n tiene sentido contrario al movimiento.
  • Por otro lado, el cuerpo tendr谩 su peso (P), que puede descomponerse en dos fuerzas Px y Py que coinciden con el eje de coordenadas.
  • La fuerza normal (N).
  • La tensi贸n de la cuerda (TBA) que empuja a la caja pendiente arriba.

Aplicando el principio fundamental o segunda ley de Newton, sobre las resultantes de cada eje:

TBA+FR+PX=mAaAxN+Py=mAaAy

Si trabajamos 煤nicamente con los m贸dulos, daremos valor negativo a las fuerzas que se orientan hacia su semieje negativo y positivo a las que se orienten hacia el semieje positivo, tal y como establece el criterio de signos seg煤n los ejes cartesianos que vimos en el apartado Problemas de Fuerzas: Criterios de Signos.

TBA-FR-PX=mAaAxN-Py=mAaAy

Dado que la caja 煤nicamente se mueve a lo largo del eje x, aAy=0 y aAx=aA

TBA-FR-PX=mAaAN=PyTBA-N-mAgsin=mAaAN=mAgcos

Sustituyendo el valor de N en la primera ecuaci贸n, obtenemos que:

TBA-mAgcos-mAgsin=mAaA[1]

Masa B (Pesa)

Las fuerzas que intervienen en la pesa durante su descenso:

  • El peso (P) del cuerpo.
  • La Tensi贸n de la cuerda (TAB) que evita que el cuerpo caiga libremente por la acci贸n de su peso.

Sabiendo en este caso que 煤nicamente el movimiento y las fuerzas se producen a lo largo del eje y (aBx=0, aBy=aB), si aplicamos la misma metodolog铆a que en el cuerpo anterior:

TAB-P=mBaBTAB-mBg=mBaBTAB=mBaB+mBg[2]

Dado que la cuerda tiene masa despreciable y es inextensible, se cumple que TAB=TBA. Por tanto, sustituyendo la ecuaci贸n [2], en la ecuaci贸n [1], obtenemos que:

mBaB+mBg-mAgcos-mAgsin=mAaA

Dado que la cuerda es inextensible y sin masa, el modulo de la aceleraci贸n del cuerpo A es el mismo que el m贸dulo de la aceleraci贸n del cuerpo B, sin embargo mientras que Aa se orienta hacia el semieje x positivo, aB lo hace hacia el negativo, por lo que aplicando el criterio de signos: aA=-aB.

-mBaA+mBg-mAgcos-mAgsin=mAaA

Por ultimo, si sustituimos los valores para calcular aA, obtenemos que:

-5aA+59.8-0.179.8cos30-79.8sin30=7aAaA=0.73m/s2aB=-0.73m/s2

A todos los efectos, la intensidad del valor de la aceleraci贸n de los cuerpos es el mismo, sin embargo el valor negativo de la aceleraci贸n del cuerpo B nos indica que su sentido es el del semieje negativo de sus sistema de referencia.

No hemos encontrado ninguna f贸rmula destacable en este ejercicio.