Enunciado

dificultad

Una caja de 2 kg comienza a ascender un plano inclinado de 30º con la horizontal con una velocidad inicial de 4 m/s. A medida que asciende va frenándose hasta que comienza a descender. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento es 0.25, calcular:

a) La aceleración con que sube la caja.
b) La aceleración con la que desciende.
 


Solución

Datos

α = 30º
v= 4 m/s
m = 2 kg
μ = 0.25

cuestión a)

En primer lugar, vamos a estudiar las fuerzas que intervienen en la caja durante su ascenso:

  • Como el cuerpo asciende por el plano, tenemos que tener en cuenta la fuerza de rozamiento (FR), que por definición tiene sentido contrario al movimiento.
  • Por otro lado, el cuerpo tendrá su peso (P), que puede descomponerse en dos fuerzas Px y Py que coinciden con el eje de coordenadas.
  • La fuerza normal (N).

Aplicando el principio fundamental o segunda ley de Newton a la resultante de cada uno de los ejes por separado, obtenemos que:

Fx=m·axFy=m·ayFR+Px=m·axN+Py=m·ay

Si utilizamos únicamente sus módulos y tenemos en cuenta el primero de los criterios de signos estudiados en el apartado de Problemas de Fuerzas: Criterios de Signos, obtenemos que:

-FR-Px=m·axN-Py=m·ay

Como solo se mueve a lo largo del eje x de nuestro sistema de referencia, ay = 0 y ax = a:

-FR-Px=m·aN-Py=0-FR-Px=m·aN=Py-μ·N-m·g·sin(α)=m·aN=m·g·cos(α)

Sustituyendo la fuerza normal obtenida en la segunda ecuación dentro de la primera ecuación, obtenemos que:

-μ·m·g·cos(α)-m·g·sin(α)=m·a a=-μ·m·g·cos(α)-m·g·sin(α)m a=-0.25·9.8·cos(30)-9.8·sin(30) a=-7.02 m/s2

Durante la subida la velocidad es positiva porque el cuerpo se mueve en el sentido del semieje x positivo, sin embargo la aceleración es negativa (el vector se orienta hacia el semieje x negativo) y provoca que vaya decrementándose hasta detenerse.

cuestión b)

Cuando el cuerpo comienza a descender actúan las mismas fuerzas que en la subida, sin embargo, dado que el movimiento es pendiente abajo, la fuerza de rozamiento cambia de sentido:

Fx=m·axFy=m·ayFR+Px=m·axN+Py=m·ay

-Px+FR=m·axN-Py=m·ay

Como solo se mueve a lo largo del eje x de nuestro sistema de referencia, ay = 0 y ax = a:

FR-Px=m·aN-Py=0FR-Px=m·aN=Pyμ·N-m·g·sin(α)=m·aN=m·g·cos(α)

Sustituyendo la fuerza normal obtenida en la segunda ecuación dentro de la primera ecuación, obtenemos que:

μ·m·g·cos(α)-m·g·sin(α)=m·a a=μ·m·g·cos(α)-m·g·sin(α)m a=0.25·9.8·cos(30)-9.8·sin(30) a=-2.78 m/s2

En este caso, la velocidad será negativa porque la caja se mueve en el sentido del semieje negativo, y la aceleración sigue siendo negativa, provocando que la velocidad vaya aumentando su valor en ese sentido.

No hemos encontrado ninguna fórmula destacable en este ejercicio.