Calcular curvatura fuciones arco

Consideraciones previas

Estudiar la curvatura de una función supone establecer los intervalos en los que la función es cóncava, en cuáles convexa, y en que valores de x se pasa de una a otra, es decir, hay un punto de inflexión. Esto se realiza fundamentalmente igualando a cero la segunda derivada, y estudiando el signo de la misma en cada intervalo resultante a través de un cuadro de signos. Visita el apartado enlazado para una información más detallada al respecto.

Resolución

1.- Función arcoseno f(x)=arcsin(x)=sin^-1(x)

El dominio de la función arcoseno, por definición, es Dom_f=[-1,1].

Empezamos derivando la función arcoseno:

$$f\left(x\right)=\arcsin \left(x\right)\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

Aplicando propiedades de las potencias y de los radicales podemos dejar la función derivada en una forma más sencilla para su derivación:

$$f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\underset{\begin{array}{c}\frac{1}{a^b}=a^{-b}\\ \sqrt{a}=a^{1/2}\end{array}}{=}{\left(1-x^2\right)}^{-\frac{1}{2}}$$

Ahora simplemente aplicamos la derivada de una potencia y la regla de la cadena para obtener la segunda derivada:

$$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=-\frac{1}{\cancel{2}}{\left(1-x^2\right)}^{-\frac{3}{2}}·\left(-\cancel{2}x\right)=\frac{x}{\sqrt{{\left(1-x^2\right)}^3}}$$

En el dominio de f dicha función solo se anula en x=0, por tanto, construyendo nuestro cuadro de signos para la segunda derivada nos queda:

$$\begin{array}{ccc}& \left(-1, 0\right)& \left(0, 1\right)\\ \text{signo} f\text{'}\text{'}& -& +\end{array}$$

Esto quiere decir que la función es cóncava en (-1, 0) y convexa en (0,1), siendo el x=0 el punto de inflexión.

2.- Función arcocoseno f(x)=arccos(x)=cos^-1(x)

En este caso, el dominio de la función es el mismo Dom_f=[-1,1].

La primera derivada del arcocoseno queda:

$$f\left(x\right)=\arccos \left(x\right)\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

De manera análoga al procedimiento seguido con el arcoseno:

$$f\text{'}\left(x\right)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\underset{\begin{array}{c}\frac{1}{a^b}=a^{-b}\\ \sqrt{a}=a^{1/2}\end{array}}{=}-{\left(1-x^2\right)}^{-\frac{1}{2}}$$

Aplicando la regla de la cadena y regla de derivación de las potencias:

$$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{\cancel{2}}{\left(1-x^2\right)}^{-\frac{3}{2}}·\left(-\cancel{2}x\right)=-\frac{x}{\sqrt{{\left(1-x^2\right)}^3}}$$

En el dominio del arcocoseno la función se anula en x=0, y el cuadro de signos nos queda:

$$\begin{array}{ccc}& \left(-1, 0\right)& \left(0, 1\right)\\ \text{signo} f\text{'}\text{'}& +& -\end{array}$$

Esto quiere decir que la función es convexa en (-1, 0) y cóncava en (0,1), siendo el x=0 el punto de inflexión.

3.- Función arcotangente f(x)=arctan(x)=tan^-1(x)

En este caso, el dominio es el conjunto de los reales.

La derivada de la fución tangente nos queda:

$$f\left(x\right)=\arctan \left(x\right)\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{1+x^2}$$

Podemos volver a derivar usando la regla de derivación para el cociente de funciones:

$$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=\frac{-2x}{{\left(1+x^2\right)}^2}$$

La función se anula cuando se anula su numerador, es decir, en x=0. Planteamos el cuadro de signos:

\begin{array}{ccc}& \left(-1, 0\right)& \left(0, 1\right)\\ \text{signo} f\text{'}\text{'}& +& -\end{array}

Esto quiere decir que la función, es cóncava en (-1, 0) y convexa en (0,1), siendo el x=0 el punto de inflexión.