Energía potencial gravitatoria de un sistema de cuatro partículas

Datos

• Masa de las partículas: m₁ = m₂ = m₃ = m₄ = 20 kg
• Lado del cuadrado l = 50 cm = 50·10^-2 m

Resolución

Para calcular la energía potencial del sistema debemos sumar la contribución de cada pareja posible, es decir:

$$E_{p_T}=E_p\left(1,2\right)+E_p\left(1,3\right)+E_p\left(1,4\right)+E_p\left(2,3\right)+E_p\left(2,4\right)+E_p\left(3,4\right)$$ 

Para el cálculo de cada sumando nos vendrá bien la siguiente figura:

La expresión para el cálculo de la energía potencial de una pareja de cuerpos es:

$$E_p\left(i,j\right)=-\frac{G·m_i·m_j}{r_{i,j}}$$

Siendo i y j dos masas cualesquiera de las que hay en el cuadrado. Observa que,

• r_1,2 = r_2,4 = r_3,4 = r_1,3 ⇒ E_p(1,2) = E_p(2,4) = E_p(3,4) = E_p(1,3) (por que, además, todas las masas son iguales)
• r_1,4 = r_2,3 ⇒ E_p(1,4) = E_p(2,3) (por que, además, todas las masas son iguales) 

Calculemos ahora r_1,4 = r_2,3

$$r_{1,4}=r_{2,3}=\sqrt{{r_{1,3}}^2+{r_{3,4}}^2}=\sqrt{2·l^2}=l·\sqrt{2}$$

A partir de esta expresión podemos llegar a los resultados buscados:

$$E_p\left(1,2\right)=\frac{-G·m_1·m_2}{r_{1,2}}=\frac{-6.67·{10}^{-11}·20·20}{50·{10}^{-2}}=-5.33·{10}^{-8} J$$ 

$$E_p\left(1,4\right)=\frac{-G·m_1·m_4}{r_{1,4}}=\frac{-6.67·{10}^{-11}·20·20}{50·{10}^{-2}·\sqrt{2}}=-3.77.{10}^{-8} J$$

$$\begin{gathered} E_{p_T}=E_p\left(1,2\right)+E_p\left(1,3\right)+E_p\left(1,4\right)+E_p\left(2,3\right)+E_p\left(2,4\right)+E_p\left(3,4\right)= \\ =3·E_p\left(1,2\right)+2·E_p\left(1,4\right)=3·\left(-5.33·{10}^{-8}\right)+2·\left(-3.77.{10}^{-8}\right)=2.35·{10}^{-7}J \end{gathered}$$

Por otro lado, calcularemos el valor de la energia potencial gravitatoria de m₁ como representante de una partícula cualquiera, ya que todas tienen igual masa y al situarse en los vértices de un cuadrado también igual energía potencial. Observa que este valor, en general, no coincide con el valor de la energía potencial del sistema. Para calcularlo debemos sumar la energía potencial de cada pareja que pueda formarse con m₁.

$$E_{p_1}=E_p\left(1,2\right)+E_p\left(1,3\right)+E_p\left(1,4\right)=2·E_p\left(1,2\right)+E_p\left(1,4\right)=-14.43·{10}^{-8}J$$