Energía potencial gravitatoria de un sistema de cuatro partículas

Enunciado

dificultad
Dificultad fácil para los ejercicios de nivel experto

Determina la energía potencial gravitatoria de un sistema como el de la figura de 4 partículas de 20 kg situadas en los vértices de un cuadrado de 50 cm de lado. Posteriormente, determina la energía potencial que tendría una cualquiera de las partículas. ¿Coinciden ambos valores?

4 partículas situadas en los vértices de un cuadrado de 50 cm

Solución

Datos

  • Masa de las partículas: m1 = m2 m3 m4 = 20 kg
  • Lado del cuadrado l = 50 cm = 50·10-2 m

Resolución

Para calcular la energía potencial del sistema debemos sumar la contribución de cada pareja posible, es decir:

EpT=Ep1,2+Ep1,3+Ep1,4+Ep2,3+Ep2,4+Ep3,4 

Para el cálculo de cada sumando nos vendrá bien la siguiente figura:

separaciones entre 4 partículas situadas en los vértices de un cuadrado de 50 cm

La expresión para el cálculo de la energía potencial de una pareja de cuerpos es:

Epi,j=-G·mi·mjri,j

Siendo i y j dos masas cualesquiera de las que hay en el cuadrado. Observa que,

  • r1,2 = r2,4r3,4 = r1,3 ⇒ Ep(1,2) = Ep(2,4) = Ep(3,4) = Ep(1,3) (por que, además, todas las masas son iguales)
  • r1,4 = r2,3 ⇒ Ep(1,4)Ep(2,3) (por que, además, todas las masas son iguales) 

Calculemos ahora r1,4 = r2,3

r1,4=r2,3=r1,32+r3,42=2·l2=l·2

A partir de esta expresión podemos llegar a los resultados buscados:

Ep1,2=-G·m1·m2r1,2=-6.67·10-11·20·2050·10-2=-5.33·10-8 J 

Ep1,4=-G·m1·m4r1,4=-6.67·10-11·20·2050·10-2·2=-3.77.10-8 J

EpT=Ep1,2+Ep1,3+Ep1,4+Ep2,3+Ep2,4+Ep3,4==3·Ep1,2+2·Ep1,4=3·-5.33·10-8+2·-3.77.10-8=2.35·10-7J

Por otro lado, calcularemos el valor de la energia potencial gravitatoria de m1 como representante de una partícula cualquiera, ya que todas tienen igual masa y al situarse en los vértices de un cuadrado también igual energía potencial. Observa que este valor, en general, no coincide con el valor de la energía potencial del sistema. Para calcularlo debemos sumar la energía potencial de cada pareja que pueda formarse con m1.

Ep1=Ep1,2+Ep1,3+Ep1,4=2·Ep1,2+Ep1,4=-14.43·10-8J 

Autor artículo
Sobre el autor
José L. Fernández es ingeniero de telecomunicaciones, profesor y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo libre a escribir artículos para Fisicalab y a ayudar a Link a salvar Hyrule.

Fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados
EpT=Ep1,2+Ep1,3++Ep1,n+Ep2,3++Ep2,n++Epn-1,n

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