Enunciado

dificultad
Dos masas m1=10 kg y m2=50 kg se encuentran situadas respectivamente en los puntos (0,0) m y (4,0) m de un sistema de coordenadas en el vacío. Si pasado un tiempo m2 se desplaza hasta la posición (8,0) m, ¿Cual es el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria que actúa sobre m2?¿Y si, una vez allí, la masa se desplaza al (6,0) m? Sería este último valor igual si m2 se hubiese desplazado directamente desde (4,0) m a (6,0) m ? ¿Qué te sugiere el signo del trabajo en cada caso?

Solución

Datos

  • Cuerpo 1:
    • m1 = 10 kg
    • Situado en P1 = ( 0 , 0 ) m
  • Cuerpo 2:
    • m2 = 50 kg
    • Situado inicialmente en PA = ( 4 , 0 ) m y al final en PB = ( 8 , 0 ) m o en PC = ( 6 , 0 ) m

Resolución

Podemos empezar calculando el trabajo realizado por el cuerpo 2 que se desplaza desde PA a PB mediante la expresión del trabajo que realiza una fuerza variable en un desplazamiento rectilíneo. Observa que asumir un desplazamiento rectilíneo nos simplificará los cálculos y nos llevará al mismo resultado que si el desplazamiento siguiera cualquier otra trayectoria ya que al ser la gravitatoria una fuerza conservativa, el trabajo realizado es independiente del camino seguido para ir desde el punto inicial al final.

WgPAPB=PAPBFg·dr 

Para poder resolver la anterior integral debemos tener muy claro qué representa cada cosa. Será útil la siguiente imagen para ello.

La fuerza de la gravedad viene dada por la siguiente expresión:

Fg=-Gm1·m2r2·urFg=Gm1·m2r2 

Por otro lado, observa que Fg  y dr  tienen igual dirección y sentido contrario por lo que podemos escribir su producto escalar en la forma:

Fg·dr=Fg·dr·cos180º=-Gm1·m2r2·dr

Con estos datos ya podemos comenzar a resolver la integral planteada:

WgPAPB=PAPBFg·dr=PAPB-G·m1·m2r2·dr=-G·m1·m2·PAPB1r2·dr==G·m1·m2·1rPAPB

A partir de la figura anterior es evidente el valor de r para cada punto PA  ( rA = 4 m ) y PB ,( rB = 8 m ), pudiendo finalmente resolver la integral:

WgPAPB=G·m1·m2·1rPAPB=G·m1·m2·1r48=6.67·10-11·10·50·-18=-4.16875·10-9 J

Observa el signo negativo del trabajo. Indica que el trabajo realizado por la fuerza se opone al desplazamiento, por lo que debe existir alguna fuerza externa que haga que la masa 2 se desplace en sentido contrario a la fuerza gravitatoria, alejándose de la masa generadora de campo.

Por otro lado, para determinar el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria cuando nos desplazamos de PB a PC, podemos utilizar un razonamiento similar, quedando:

WgPBPC=G·m1·m2·1rPBPC=G·m1·m2·1r86=6.67·10-11·10·50·124=1.38958·10-9 J

En este caso, el trabajo positivo indica que el trabajo favorece el desplazamiento. Es decir, la fuerza gravitatoria favorece el acercamiento del cuerpo 2 a la masa generadora. 

Para determinar el trabajo total para llegar del punto PA al PC a través de PB sumamos las aportaciones de cada camino individual, quedando:

WgPAPC=WgPAPB+WgPBPC=4.163·109+1.389·109=-2.77·10-9 J

Observa que este valor coincide con el valor que hubiésemos obtenido si nos hubiésemos desplazado directamente desde PA a PC sin pasar por P:

WgPAPC=G·m1·m2·1rPAPC=G·m1·m2·1r46=6.67·10-11·10·50·-112=2.77·10-9J

Efectivamente, al ser conservativa, la fuerza gravitatoria realiza un trabajo que solo depende del punto inicial y el final, pero no del camino seguido para llegar de uno a otro. Este hecho nos sugiere la presencia de un tipo de potencial para desarrollar trabajo asociado a la posición que ocupa el cuerpo en el campo. Dicho potencial es lo que se cuantifica mediante la energía potencial gravitatoria y lo que nos permitiría simplificar notablemente los cálculos realizados, tal y como se ilustra en este otro ejercicio.

Ficha de fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados
a·b=a·b·cosα
Wg(AB)=ABFg·dr