Enunciado

dificultad
Dificultad intermedia para los ejercicios de nivel experto

Dos masas m1=10 kg y m2=50 kg se encuentran situadas respectivamente en los puntos (0,0) m y (4,0) m de un sistema de coordenadas en el vac√≠o. Si pasado un tiempo m2 se desplaza hasta la posici√≥n (8,0) m, ¬ŅCual es el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria que act√ļa sobre m2?¬ŅY si, una vez all√≠, la masa se desplaza al (6,0) m? Ser√≠a este √ļltimo valor igual si m2 se hubiese desplazado directamente desde (4,0) m a¬†(6,0) m ? ¬ŅQu√© te sugiere el signo del trabajo en cada caso?

Solución

Datos

  • Cuerpo 1:
    • m1 = 10 kg
    • Situado en P1 = ( 0 , 0 ) m
  • Cuerpo 2:
    • m2¬†= 50 kg
    • Situado inicialmente en¬†PA¬†= ( 4¬†, 0 ) m y al final en¬†PB¬†= ( 8¬†, 0 ) m o en¬†PC¬†= ( 6¬†, 0 ) m

Resolución

Podemos empezar calculando el trabajo realizado por el cuerpo 2 que se desplaza desde PA a PB mediante la expresión del trabajo que realiza una fuerza variable en un desplazamiento rectilíneo. Observa que asumir un desplazamiento rectilíneo nos simplificará los cálculos y nos llevará al mismo resultado que si el desplazamiento siguiera cualquier otra trayectoria ya que al ser la gravitatoria una fuerza conservativa, el trabajo realizado es independiente del camino seguido para ir desde el punto inicial al final.

WgPA‚ÜíPB=‚ąęPAPBF‚Üíg¬∑dr‚Üí¬†

Para poder resolver la anterior integral debemos tener muy claro qu√© representa cada cosa. Ser√° √ļtil la siguiente imagen para ello.

La fuerza de la gravedad viene dada por la siguiente expresión:

F→g=-Gm1·m2r2·u→r⇒Fg=Gm1·m2r2 

Por otro lado, observa que F→g  y dr→  tienen igual dirección y sentido contrario por lo que podemos escribir su producto escalar en la forma:

F‚Üíg¬∑dr‚Üí=Fg¬∑dr¬∑cos180¬ļ=-Gm1¬∑m2r2¬∑dr

Con estos datos ya podemos comenzar a resolver la integral planteada:

WgPA‚ÜíPB=‚ąęPAPBF‚Üíg¬∑dr‚Üí=‚ąęPAPB-G¬∑m1¬∑m2r2¬∑dr=-G¬∑m1¬∑m2¬∑‚ąęPAPB1r2¬∑dr==G¬∑m1¬∑m2¬∑1rPAPB

A partir de la figura anterior es evidente el valor de r para cada punto PA  ( rA = 4 m ) y PB ,( rB = 8 m ), pudiendo finalmente resolver la integral:

WgPA→PB=G·m1·m2·1rPAPB=G·m1·m2·1r48=6.67·10-11·10·50·-18=-4.16875·10-9 J

Observa el signo negativo del trabajo. Indica que el trabajo realizado por la fuerza se opone al desplazamiento, por lo que debe existir alguna fuerza externa que haga que la masa 2 se desplace en sentido contrario a la fuerza gravitatoria, alej√°ndose de la masa generadora de campo.

Por otro lado, para determinar el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria cuando nos desplazamos de PB a PC, podemos utilizar un razonamiento similar, quedando:

WgPB→PC=G·m1·m2·1rPBPC=G·m1·m2·1r86=6.67·10-11·10·50·124=1.38958·10-9 J

En este caso, el trabajo positivo indica que el trabajo favorece el desplazamiento. Es decir, la fuerza gravitatoria favorece el acercamiento del cuerpo 2 a la masa generadora. 

Para determinar el trabajo total para llegar del punto PA al PC a través de PB sumamos las aportaciones de cada camino individual, quedando:

WgPA‚ÜíPC=WgPA‚ÜíPB+WgPB‚ÜíPC=‚ąí4.163¬∑10‚ąí9+1.389¬∑10‚ąí9=-2.77¬∑10-9¬†J

Observa que este valor coincide con el valor que hubiésemos obtenido si nos hubiésemos desplazado directamente desde PA a PC sin pasar por PB :

WgPA→PC=G·m1·m2·1rPAPC=G·m1·m2·1r46=6.67·10-11·10·50·-112=2.77·10-9J

Efectivamente, al ser conservativa, la fuerza gravitatoria realiza un trabajo que solo depende del punto inicial y el final, pero no del camino seguido para llegar de uno a otro. Este hecho nos sugiere la presencia de un tipo de potencial para desarrollar trabajo asociado a la posición que ocupa el cuerpo en el campo. Dicho potencial es lo que se cuantifica mediante la energía potencial gravitatoria y lo que nos permitiría simplificar notablemente los cálculos realizados, tal y como se ilustra en este otro ejercicio.

Autor artículo
Sobre el autor
José L. Fernández es ingeniero de telecomunicaciones, profesor y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo libre a escribir artículos para Fisicalab y a ayudar a Link a salvar Hyrule.

Fórmulas

Estas son las principales f√≥rmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teor√≠a de los apartados relacionados. Adem√°s, en ellos encontrar√°s, bajo la pesta√Īa F√≥rmulas, los c√≥digos que te permitir√°n integrar estas f√≥rmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados
F→g=-G·M·mr2·u→r
a‚Üí¬∑b‚Üí=a¬∑b¬∑cosőĪ
Wg(A‚ÜíB)=‚ąęABF‚Üíg¬∑dr‚Üí

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