Enunciado

dificultad

Determina a que distancia deben situarse dos masas de 8 kg y 2 kg para que el campo gravitaorio entre ambas y a 2/3 m de la primera sea nulo. 


Solución

Datos

  • Masa 1 m1 = 8 kg
  • Masa 2 m2 = 2 kg
  • Distancia a la primera masa tal que el campo gravitatorio se anula r1 = 2/3 m

Consideraciones previas

Antes de comenzar a realizar los cálculos conviene hacernos una representación gráfica de la situación. Situaremos el origen de nuestro sistema de coordenadas sobre la primera masa, y la segunda sobre el eje de abcisas (eje X) a una distancia indeterminada r de la primera. Por otro lado, sabemos que la intensidad de campo gravitatorio en cada punto del espacio viene determinada por la suma vectorial de los campos que genera cada masa individualmente. Por tanto, y dado que el campo siempre apunta a la masa que lo genera, la condición que debe cumplirse en el punto en el que se anula (a 2/3m del origen) es que los valores de los campos generados por cada masa sean iguales. O dicho de otra manera:

g=g1+g2=-g1·ur1-g2·ur2

Y dado que ur1=-ur2 , nos queda:

0=-g1·ur1+g2·ur1g1=g2

La siguiente imagen recoge la situación de manera esquemática:

Esquema con dos masas separadas una distancia r

Resolución

Los valores g1 y g2 representan los módulos de la intensidad de campo gravitatorio debidos a la masa 1 y 2 respectivamente, por lo que podemos escribir:

g1=g2G·m1r12=G·m2r228232=2r-2324·r-232=2324·r2-43·r+49=499·r2-12·r+4=19·r2-12·r+3=03·r2-4·r+1=0 

Resolviendo la ecuación de segundo grado anterior, obtenemos:

r=4±16-126==1=13 

El resultado anterior nos indica que los valores de g1 y g2 se igualan a 2/3 m del origen cuando situamos m2 a 1 m o a 1/3 m de m1. Sin embargo, para que el campo efectivamente se anule debemos situar m2 a 1 m ya que en el caso de que r fuese 1/3, 2/3 m quedaría a la derecha de ambas masas y los valores de campos gravitatorio deberían ser sumados vectorialmente al apuntar sus respectivos vectores en la misma dirección.

Ficha de fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados
g=-G·mr2·ur
gT=g1+g2++gn=i=1ngi