Enunciado

dificultad

Determina el valor del campo gravitatorio a 40 cm del centro de dos esferas macizas, homog√©neas, de igual masa m kg, una de radio R y otra de radio 2¬∑R siendo R mayor que 40 cm. Suponiendo que la Tierra fuese perfectamente esf√©rica y su masa estuviese distribuida de forma homog√©nea,¬Ņcual ser√≠a el valor de la intensidad de campo a 40 cm del centro?¬Ņy sobre la superficie? ¬ŅSer√≠an estos valores iguales si la Tierra fuese una esfera hueca, con toda su masa concentrada en las capas exteriores?

Datos: Radio de la Tierra: 6.371 km; Masa de la Tierra: 5,972¬∑1024 kg


Solución

Datos

  • Masa de las esferas : m1 = m2 = m kg
  • Radios de las esferas: R1 = R m ; R2 = 2¬∑R m ; R > 40¬∑10-2 m
  • Radio de la Tierra: RT = 6371 km = 6371¬∑103 m
  • Masa de la Tierra: mT = 5,972¬∑1024 kg

Consideraciones previas

Dado que R > 40¬∑10-2 m, en ambos casos nos encontramos en el interior de la esfera.

Resolución

Aplicamos en ambos casos la expresi√≥n para el c√°lculo de la intensidad de campo gravitatorio en el interior de una esfera s√≥lida, con r' = 40¬∑10-2 m.

g=G·mr3·r' 

Por lo que nos queda para la primera esfera:

g=6.67·10-11·mR3·40·10-2=2.6·10-11mR3N/kg

...y para la segunda

g=6.67·10-11·m2·R3·40·10-2=3.34·10-12mR3N/kg

Observa como el valor del campo crece m√°s r√°pidamente cuanto menor sea el radio de la esfera considerada, para una misma masa.

Por otro lado, podemos aplicar la primera de las expresiones, sustituyendo los valores de R y m para determinar el valor del campo a 40 cm del centro de la Tierra:

g=2.6·10-11·mR3=2.6·10-11·5.972·10246371·1033=6·10-7 N/kg

Justo en la superficie tenemos dos opciones que nos llevan al mismo resultado:

  • Considerar que estamos en el exterior de una esfera s√≥lida, con lo cual podemos aplicar la misma expresi√≥n que en el caso de las part√≠culas puntuales suponiendo que toda la masa se concentrase en el centro de la esfera, siendo R el radio al centro de la esfera R = RT
  • Considerar que estamos en la √ļltima capa del interior de la esfera, con lo que aplicar√≠amos la expresi√≥n ya indicada para estos casos teniendo en cuenta que r' = R = R

En cualquiera de los casos:

g=6.67·10-11·5.972·10246371·1032=9.81 N/kg

Como no podía ser de otra forma, el valor hallado es el de la aceleración de la gravedad.

Finalmente, ¬Ņqu√© ocurrir√≠a si la Tierra fuese hueca? En primer lugar, el campo gravitatorio en el interior, en cualquier punto, ser√≠a 0. Por tanto un cuerpo all√≠ situado no experimentar√≠a ninguna fuerza de gravedad. En cambio, para los cuerpos situados en el exterior el valor del campo ser√≠a el mismo.

A la luz de estos datos,¬Ņte atreves a imaginar qu√© ocurrir√≠a con el campo gravitatorio a lo largo de un hipot√©tico tunel que fuese cavado hasta el centro de la Tierra?

Ficha de fórmulas

Estas son las principales f√≥rmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teor√≠a de los apartados relacionados. Adem√°s, en ellos encontrar√°s, bajo la pesta√Īa F√≥rmulas, los c√≥digos que te permitir√°n integrar estas f√≥rmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados
g=-G·mr3·r'·ur
g=-G·mr2·ur