Enunciado

dificultad

Determina el valor del campo gravitatorio a 40 cm del centro de dos esferas macizas, homog茅neas, de igual masa m kg, una de radio R y otra de radio 2路R siendo R mayor que 40 cm. Suponiendo que la Tierra fuese perfectamente esf茅rica y su masa estuviese distribuida de forma聽homog茅nea,驴cual ser铆a el valor de la intensidad de campo a 40 cm del centro?驴y sobre la superficie? 驴Ser铆an estos valores iguales si la Tierra fuese una esfera hueca, con toda su masa concentrada en las capas exteriores?

Datos: Radio de la Tierra:聽6.371 km; Masa de la Tierra:聽5,972路1024聽kg


Soluci贸n

Datos

  • Masa de las esferas : m1聽= m2聽= m kg
  • Radios de las esferas: R1 = R m ; R2聽= 2路R m ; R > 40路10-2 m
  • Radio de la Tierra: RT聽= 6371 km = 6371路103聽m
  • Masa de la Tierra: mT聽=聽5,972路1024聽kg

Consideraciones previas

Dado que聽R > 40路10-2聽m, en ambos casos nos encontramos en el interior de la esfera.

Resoluci贸n

Aplicamos en ambos casos la expresi贸n para el c谩lculo de la intensidad de campo gravitatorio en el interior de una esfera s贸lida, con r' = 40路10-2聽m.

g=Gmr3r'

Por lo que nos queda para la primera esfera:

g=6.6710-11mR34010-2=2.610-11mR3N/kg

...y para la segunda

g=6.6710-11m2R34010-2=3.3410-12mR3N/kg

Observa como el valor del campo crece m谩s r谩pidamente cuanto menor sea el radio de la esfera considerada, para una misma masa.

Por otro lado, podemos aplicar la primera de las expresiones, sustituyendo los valores de R y m para determinar el valor del campo a 40 cm del centro de la Tierra:

g=2.610-11mR3=2.610-115.972102463711033=610-7N/kg

Justo en la superficie tenemos dos opciones que nos llevan al mismo resultado:

  • Considerar que estamos en el exterior de una esfera s贸lida, con lo cual podemos aplicar la misma expresi贸n que en el caso de las part铆culas puntuales suponiendo que toda la masa se concentrase en el centro de la esfera, siendo R el radio al centro de la esfera R = RT
  • Considerar que estamos en la 煤ltima capa del interior de la esfera, con lo que aplicar铆amos la expresi贸n ya indicada para estos casos teniendo en cuenta que聽r' = R = RT聽

En cualquiera de los casos:

g=6.6710-115.972102463711032=9.81N/kg

Como no pod铆a ser de otra forma, el valor hallado es el de la aceleraci贸n de la gravedad.

Finalmente, 驴qu茅 ocurrir铆a si la Tierra fuese hueca? En primer lugar, el campo gravitatorio en el interior, en cualquier punto, ser铆a 0. Por tanto un cuerpo all铆 situado no experimentar铆a ninguna fuerza de gravedad. En cambio, para los cuerpos situados en el exterior el valor del campo ser铆a el mismo.

A la luz de estos datos,驴te atreves a imaginar qu茅 ocurrir铆a con el campo gravitatorio a lo largo de un hipot茅tico tunel que fuese cavado hasta el centro de la Tierra?

Ficha de f贸rmulas

Estas son las principales f贸rmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teor铆a de los apartados relacionados. Adem谩s, en ellos encontrar谩s, bajo la pesta帽a F贸rmulas, los c贸digos que te permitir谩n integrar estas f贸rmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

F贸rmulas
Apartados relacionados
g=-Gmr2ur
g=-Gmr3r'ur