Enunciado

dificultad

Determina el valor del campo gravitatorio a 40 cm del centro de dos esferas macizas, homogéneas, de igual masa m kg, una de radio R y otra de radio 2·R siendo R mayor que 40 cm. Suponiendo que la Tierra fuese perfectamente esférica y su masa estuviese distribuida de forma homogénea,¿cual sería el valor de la intensidad de campo a 40 cm del centro?¿y sobre la superficie? ¿Serían estos valores iguales si la Tierra fuese una esfera hueca, con toda su masa concentrada en las capas exteriores?

Datos: Radio de la Tierra: 6.371 km; Masa de la Tierra: 5,972·1024 kg


Solución

Datos

  • Masa de las esferas : m1 = m2 = m kg
  • Radios de las esferas: R1 = R m ; R2 = 2·R m ; R > 40·10-2 m
  • Radio de la Tierra: RT = 6371 km = 6371·103 m
  • Masa de la Tierra: mT = 5,972·1024 kg

Consideraciones previas

Dado que R > 40·10-2 m, en ambos casos nos encontramos en el interior de la esfera.

Resolución

Aplicamos en ambos casos la expresión para el cálculo de la intensidad de campo gravitatorio en el interior de una esfera sólida, con r' = 40·10-2 m.

g=G·mr3·r' 

Por lo que nos queda para la primera esfera:

g=6.67·10-11·mR3·40·10-2=2.6·10-11mR3N/kg

...y para la segunda

g=6.67·10-11·m2·R3·40·10-2=3.34·10-12mR3N/kg

Observa como el valor del campo crece más rápidamente cuanto menor sea el radio de la esfera considerada, para una misma masa.

Por otro lado, podemos aplicar la primera de las expresiones, sustituyendo los valores de R y m para determinar el valor del campo a 40 cm del centro de la Tierra:

g=2.6·10-11·mR3=2.6·10-11·5.972·10246371·1033=6·10-7 N/kg

Justo en la superficie tenemos dos opciones que nos llevan al mismo resultado:

  • Considerar que estamos en el exterior de una esfera sólida, con lo cual podemos aplicar la misma expresión que en el caso de las partículas puntuales suponiendo que toda la masa se concentrase en el centro de la esfera, siendo R el radio al centro de la esfera R = RT
  • Considerar que estamos en la última capa del interior de la esfera, con lo que aplicaríamos la expresión ya indicada para estos casos teniendo en cuenta que r' = R = R

En cualquiera de los casos:

g=6.67·10-11·5.972·10246371·1032=9.81 N/kg

Como no podía ser de otra forma, el valor hallado es el de la aceleración de la gravedad.

Finalmente, ¿qué ocurriría si la Tierra fuese hueca? En primer lugar, el campo gravitatorio en el interior, en cualquier punto, sería 0. Por tanto un cuerpo allí situado no experimentaría ninguna fuerza de gravedad. En cambio, para los cuerpos situados en el exterior el valor del campo sería el mismo.

A la luz de estos datos,¿te atreves a imaginar qué ocurriría con el campo gravitatorio a lo largo de un hipotético tunel que fuese cavado hasta el centro de la Tierra?

Ficha de fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados
g=-G·mr3·r'·ur
g=-G·mr2·ur