Enunciado

dificultad

Sabiendo que el potencial gravitatorio de cierta masa puntual varía en el espacio en función de la distancia r según V(r) = -3·10-7/r J/kg, determina:

  • La masa que genera el campo
  • La intensidad de campo gravitatorio en función de las coordenadas cartesianas x,y y z

Solución

Datos

  • Potencial en función de la distancia: V(r) = -3·10-7/r J/kg

Resolución

Sabemos que la expresión general del potencial gravitatorio producido por una masa puntual viene dada por V(r) = -G·m/r, por lo que podemos identificar con la expresión proporcionada según:

Vr=-G·mr=-3·10-7rm=3·10-76.67·10-11=4497.75 kg

Por otro lado, podemos obtener la intensidad del campo gravitatorio a partir del potencial de acuerdo a través del gradiente:

g=-V=-δVδx·i+δVδy·j+δVδz·k 

El problema es que tenemos V en función de la distancia r, pero no de x,y y z. Sin embargo sabemos que el módulo del vector de posición es precisamente la distancia, por lo que:

r=x2+y2+z2V=-3·10-7r=-3·10-7x2+y2+z2 

A través de la relación señalada obtenemos el vector intensidad de campo. Comenzamos con la componente x, considerando las componentes y y z constantes para la derivación:

Vx=x-3·10-7x2+y2+z2=x-3·10-7·x2+y2+z2-12=32·10-7·x2+y2+z2-32·2·x=3·10-7·xx2+y2+z23

Siguiendo un razonamiento similar para las componentes y y z nos queda:

Vy=y-3·10-7x2+y2+z2=3·10-7·yx2+y2+z23Vz=z-3·10-7x2+y2+z2=3·10-7·zx2+y2+z23

Quedando finalmente la expresión del vector intensidad de campo gravitatorio:

g=3·10-7x2+y2+z23·x·i+y·j+z·k N/kg

Ficha de fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados
r=x2+y2+z2
g=-Vx·i+Vy·j+Vz·k