Enunciado

dificultad

Sabiendo que el potencial gravitatorio de cierta masa puntual var铆a en el espacio en funci贸n de la distancia r seg煤n V(r) = -3路10-7/r J/kg, determina:

  • La masa que genera el campo
  • La intensidad de campo gravitatorio en funci贸n de las coordenadas cartesianas x,y y z

Soluci贸n

Datos

  • Potencial en funci贸n de la distancia: V(r) = -3路10-7/r J/kg

Resoluci贸n

Sabemos que la expresi贸n general del potencial gravitatorio producido por una masa puntual viene dada por V(r) = -G路m/r, por lo que podemos identificar con la expresi贸n proporcionada seg煤n:

Vr=-G·mr=-3·10-7rm=3·10-76.67·10-11=4497.75 kg

Por otro lado, podemos obtener la intensidad del campo gravitatorio a partir del potencial de acuerdo a trav茅s del gradiente:

g=-V=-δVδx·i+δVδy·j+δVδz·k 

El problema es que tenemos V en funci贸n de la distancia r, pero no de x,y y z. Sin embargo sabemos que el m贸dulo del vector de posici贸n es precisamente la distancia, por lo que:

r=x2+y2+z2V=-3·10-7r=-3·10-7x2+y2+z2 

A trav茅s de la relaci贸n se帽alada obtenemos el vector intensidad de campo. Comenzamos con la componente x, considerando las componentes y y z constantes para la derivaci贸n:

Vx=x-3·10-7x2+y2+z2=x-3·10-7·x2+y2+z2-12=32·10-7·x2+y2+z2-32·2·x=3·10-7·xx2+y2+z23

Siguiendo un razonamiento similar para las componentes y y z nos queda:

Vy=y-3·10-7x2+y2+z2=3·10-7·yx2+y2+z23Vz=z-3·10-7x2+y2+z2=3·10-7·zx2+y2+z23

Quedando finalmente la expresi贸n del vector intensidad de campo gravitatorio:

g=3·10-7x2+y2+z23·x·i+y·j+z·k N/kg

Ficha de f贸rmulas

Estas son las principales f贸rmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teor铆a de los apartados relacionados. Adem谩s, en ellos encontrar谩s, bajo la pesta帽a F贸rmulas, los c贸digos que te permitir谩n integrar estas f贸rmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

F贸rmulas
Apartados relacionados
r=x2+y2+z2
g=-Vx·i+Vy·j+Vz·k