Momento lineal de varias partículas

Datos

• Masa de la primera bola: m₁ = 170 g = 0.17 kg
• Valor (módulo) de la velocidad  de la primera bola: v₁ = 3 m/s
• Angulo con parte positiva del eje x del vector velocidad de la primera bola: α = 45º
• Masa de la segunda bola: m₂ = 156 g = 0.156 kg
• Velocidad (módulo) de la segunda bola: v₂ = 2 m/s
• Angulo con parte negativa del eje y del vector velocidad de la segunda bola: β = 30º

Consideraciones previas

Sabemos que el momento vectorial de un sistema de partículas (consideramos que las bolas de billar son partículas puntuales) se calcula como la suma de los momentos lineales de cada una de las partículas que lo componen. En este caso, para determinar estos momentos nos resultará conveniente tener la expresión vectorial de las velocidades de las bolas. Hay que tener cuidado, pues el ángulo α y el β están referidos a ejes distintos. Recuerda que, en general, consideraremos el semieje positivo x para los ángulos, quedando:

$${\overrightarrow{v}}_1=v_x·\overrightarrow{i}+v_y·\overrightarrow{j}=v·\cos \left(\alpha \right)·\overrightarrow{i}+v·\sin \left(\alpha \right)·\overrightarrow{j}=3·\cos \left(45º\right)·\overrightarrow{i}+3·\sin \left(45º\right)·\overrightarrow{j}=2.12·\overrightarrow{i}+2.12·\overrightarrow{j}$$ 

...y para el caso de la segunda velocidad tendremos en cuenta que el ángulo a considerar será también el que forma el vector con el semeje positivo x, es decir 270º - 30º = 240º(como se deduce de la propia figura):

$${\overrightarrow{v}}_2=2·\cos \left(240º\right)·\overrightarrow{i}+2·\sin \left(240º\right)·\overrightarrow{j}=-1·\overrightarrow{i}-1.73·\overrightarrow{j}$$

Resolución

La cantidad de movimiento total del sistema es la suma de las cantidades de movimiento de ambas bolas, es decir:

$${\overrightarrow{p}}_{\text{total}}={\overrightarrow{p}}_1+{\overrightarrow{p}}_2=m_1·{\overrightarrow{v}}_1+m_2·{\overrightarrow{v}}_2=0.17·\left(2.12·\overrightarrow{i}+2.12·\overrightarrow{j}\right)+0.156·\left(-\overrightarrow{i}-1.73·\overrightarrow{j}\right)=0.2044·\overrightarrow{i}+0.09052·\overrightarrow{j} kg·m/s$$