Aceleraciones de cuerpos rodantes en plano inclinado

Enunciado

dificultad

¿Cuáles son las aceleraciones de descenso de una esfera y un cilindro, ambos sólidos y de la misma masa por un plano inclinado de 20º? Considera que no se produce deslizamiento.

Datos:

Momento de inercia de un cilindro macizo respecto al eje del cilindro $I_{cil} = \frac{m \cdot r^{2}}{2}$
Momento de inercia de una esfera maciza respecto a un diámetro $I_{esf} = \frac{2 \cdot m \cdot r^{2}}{5}$

Solución

Datos

Inclinación del plano: $α = 20$

Resolución

Podemos estudiar el movimiento de cada uno de los cuerpos teniendo en cuenta que se compone de un movimiento de rotación y otro de traslación. De la aplicación de la segunda ley de Newton a la rotación y a la traslación de los cuerpos, obtenemos dos ecuaciones. Por otro lado, hemos de tener en cuenta que ambos cuerpos giran gracias al momento que produce la fuerza de rozamiento. Teniendo estas consideraciones, junto con la relación que guardan la aceleración angular y la aceleración, nos queda:

$\begin{array}{r} \begin{matrix} M = I \cdot α \\ P_{x} - F_{r} = m \cdot a \\ M = F_{r} \cdot r \\ a = α \cdot r \end{matrix} \end{array}\} \begin{matrix} F_{r} \cdot r = I \cdot \frac{a}{r} \\ P_{x} - F_{r} = m \cdot a \Rightarrow m \cdot g \cdot \sin (20 º) - F_{r} = m \cdot a \end{matrix}$

Ahora, simplemente particularizamos el momento de inercia para cada caso y despejamos la aceleración.

Cilindro

$F_{r} \cdot r = \frac{m \cdot r^{2}}{2} \cdot \frac{a}{r} \Rightarrow F_{r} = \frac{a}{2} \cdot m [1] m \cdot g \cdot \sin (20 º) - F_{r} = m \cdot a \underset{[1]}{\Rightarrow} m \cdot g \cdot \sin (20 º) - \frac{a \cdot m}{2} = m \cdot a \Rightarrow \Rightarrow a = \frac{2}{3} \cdot g \cdot \sin (20 º) = 2.23 m / s^{2}$

Esfera

$F_{r} \cdot r = \frac{2 \cdot m \cdot r^{2}}{5} \cdot \frac{a}{r} \Rightarrow F_{r} = \frac{2 \cdot a}{5} \cdot m [2] m \cdot g \cdot \sin (20 º) - F_{r} = m \cdot a \underset{[2]}{\Rightarrow} m \cdot g \cdot \sin (20 º) - \frac{2 \cdot a \cdot m}{5} = m \cdot a \Rightarrow \Rightarrow a = \frac{5}{7} \cdot g \cdot \sin (20 º) = 2. 39 m / s^{2}$

Sobre el autor

José L. Fernández

José Luis Fernández Yagües es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la física, las matemáticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

Fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas

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