Enunciado

dificultad

Dado un anillo de radio u, que posee una distribución de carga Q uniforme, determinar el valor del campo creado en cualquier punto del eje del anillo situado a distancia x de su centro. ¿Qué ocurre con el campo en el centro del anillo? ¿Y a una distancia muy grande?


Solución

Para resolver este ejercicio vamos a dividir el anillo en pequeñas porciones infinitesimales de carga, cada una de las cuales influirá en la creación del campo eléctrico en cualquier punto P situado a lo largo del eje del anillo. La simetría que posee el anillo, hace que solo influyan las componentes x del campo eléctrico (dEx, dEx', ...) ya que las componentes y se anulan (dEy, dEy',...). Por tanto, nos centraremos en calcular la suma de todas las primeras.

Para ello, calcularemos el valor de la componente x del campo eléctrico creado por dQ, aplicando la definición de coseno:

dEx=dE·cos θ

Adicionalmente, si consideramos el campo creado por una carga puntual y que según la figura cos Θ = x/r

dEx=K·dQr2·xr

Nuevamente, aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo que resulta de la figura:

d=x2+u2

Por tanto:

dEx=K·dQx2+u22·xx2+u2dEx=K·dQ·xx2+u23/2

Partiendo de esta ecuación deseamos calcular el campo creado por cada una de las cargas situadas a lo largo del anillo, por esta razón vamos a darle una vuelta y a expresarla en función de la longitud del anillo:

dQ=λ·dl

Ahora podemos integrar a lo largo de dicah longitud:

E=02πuKλ·dl·x(x2+u2)3/2

Resolviendo la integral:

E=02πuKλ·dl·x(x2+u2)3/2E=Kλ·x(x2+u2)3/202πudl E=Kλ·x(x2+u2)3/2·2·π·u

Dado que λ=Q/2·π·u :

E=KQ·x(x2+u2)3/2

Una vez que conocemos la expresión del campo eléctrico a cualquier distancia x del eje del anillo, vamos a responder a las preguntas que nos solicitan en el ejercicio:

  • En el centro del anillo x = 0, por tanto si sustituimos en la expresión del campo eléctrico obtendremos que E = 0.
  • En un punto situado muy lejos x>>>u obtendremos que E = K· Q / x2, es decir, a una distancia extremadamente grande el anillo se comporta como si se tratase de una carga puntual.

No hemos encontrado ninguna fórmula destacable en este ejercicio.