Enunciado

dificultad

Dado un anillo de radio u, que posee una distribuci√≥n de carga Q uniforme, determinar el valor del campo creado en cualquier punto del eje del anillo situado a distancia x de su centro. ¬ŅQu√© ocurre con el campo en el centro del anillo? ¬ŅY a una distancia muy grande?


Solución

Para resolver este ejercicio vamos a dividir el anillo en peque√Īas porciones infinitesimales de carga, cada una de las cuales influir√° en la creaci√≥n del campo el√©ctrico en cualquier punto P situado a lo largo del eje del anillo. La simetr√≠a que posee el anillo, hace que solo influyan las componentes x del campo el√©ctrico (dEx, dEx', ...) ya que las componentes y se anulan (dEy, dEy',...). Por tanto, nos centraremos en calcular la suma de todas las primeras.

Para ello, calcularemos el valor de la componente x del campo eléctrico creado por dQ, aplicando la definición de coseno:

dEx=dE¬∑cos¬†őł

Adicionalmente, si consideramos el campo creado por una carga puntual y que seg√ļn la figura cos őė = x/r

dEx=K·dQr2·xr

Nuevamente, aplicando el teorema de Pit√°goras al tri√°ngulo que resulta de la figura:

d=x2+u2

Por tanto:

dEx=K·dQx2+u22·xx2+u2⇒dEx=K·dQ·xx2+u23/2

Partiendo de esta ecuación deseamos calcular el campo creado por cada una de las cargas situadas a lo largo del anillo, por esta razón vamos a darle una vuelta y a expresarla en función de la longitud del anillo:

dQ=őĽ¬∑dl

Ahora podemos integrar a lo largo de dicah longitud:

E=‚ąę02ŌÄuKőĽ¬∑dl¬∑x(x2+u2)3/2

Resolviendo la integral:

E=‚ąę02ŌÄuKőĽ¬∑dl¬∑x(x2+u2)3/2‚áíE=KőĽ¬∑x(x2+u2)3/2‚ąę02ŌÄudl¬†‚áíE=KőĽ¬∑x(x2+u2)3/2¬∑2¬∑ŌĬ∑u

Dado que őĽ=Q/2¬∑ŌĬ∑u :

E=KQ·x(x2+u2)3/2

Una vez que conocemos la expresión del campo eléctrico a cualquier distancia x del eje del anillo, vamos a responder a las preguntas que nos solicitan en el ejercicio:

  • En el centro del anillo x = 0, por tanto si sustituimos en la expresi√≥n del campo el√©ctrico obtendremos que E = 0.
  • En un punto situado muy lejos x>>>u obtendremos que E = K¬∑ Q / x2, es decir, a una distancia extremadamente grande el anillo se comporta como si se tratase de una carga puntual.

No hemos encontrado ninguna fórmula destacable en este ejercicio.