Enunciado

dificultad

Dados los siguientes vectores:

Calcula en el siguiente orden:

a) La representación gráfica de la suma de ambos vectores.
b) La representación analítica de la suma de ambos vectores.
c) La representación analítica del opuesto del vector u
d) ¿El módulo de la suma de dos vectores es igual a la suma de los módulos de cada vector individualmente?

 


Solución

Cuestión a)

Lo que se nos pide en este ejercicio, es representar gráficamente el vector resultante de sumar u y v que denotaremos como u+v.

Tal y como hemos visto, la suma de vectores desde un punto "gráfico" se puede resolver mediante 2 métodos:

  • Método de la cabeza con cola.
  • Regla del Paralelogramo.

Para representar u+v, usaremos la primera de ellas.

  1. Desplazamos u de forma que su punto de origen coincida con el origen de coordenadas y mantenemos, su dirección, módulo y sentido.
  2. Desplazamos v de forma que su punto de origen coincida con el extremo del vector u, manteniendo igualmente su dirección, módulo y sentido.
  3. Trazamos un vector u+v cuyo punto de aplicación es el punto de origen de u y su extremo es el punto de extremo de v.

Cuestión b)

En este apartado, lo que se nos pide es la ecuación del vector resultado de sumar u y v. El cálculo de dicha ecuación resulta más fácil si disponemos de las ecuaciones de u y v, sin embargo no nos las proporcionan en el ejercicio. De lo que si disponemos es de los puntos origen y extremos, lo que es muchísima información ya que a partir de ellos podemos obtener las ecuaciones de u y v.

vector u

Llamaremos UO al punto origen y OE al punto extremo del vector u. Observando la gráfica podemos determinar que UO = (2,2) y UE = (4,3). Aplicando la definición de vector:

u= (UEx-UOx) · i+ (UEy - UOy) ·j u= (4 - 2) · i+ (3 - 2) ·ju= 2 · i+ j

vector v

Para este vector, repetiremos los mismos pasos que para el vector u, aunque en esta ocasión llamaremos VO a su punto de origen y VE al extremo. Si nuevamente nos centramos en la gráfica, podemos deducir que VO= (2,1) y VE= (4,1). Aplicando la definición de vector:

v= (VEx-VOx) · i+ (VEy - VOy) ·j v = (4 - 2) · i+ (1 - 1) ·jv= 2 · i

En resumen, hemos obtenido la siguiente representación analítica de u y v

u = 2 · i+ jv= 2 · i

De aquí podemos obtener las componentes cartesianas de ambos vectores y que nos servirán para calcular la suma:

ux = 2  uy = 1vx = 2  vy = 0

Sustituyendo en la definición de suma de vectores que hemos visto en el desarrollo del tema, el vector u + v será:

u+ v= (ux+vx) ·i+ (uy+vy) · ju+ v= (2+2) ·i+ (1+0) · ju+ v= 4 ·i+ 1 · j

Cuestion c)

Para calcular el opuesto de un vector, basta con cambiar el signo de las componentes de dicho vector. Por lo tanto si

u = 2 · i+ j

entonces su opuesto se representa de la siguiente forma:

-u = -2 · i- j

Cuestion d)

En este punto lo que nos está preguntando es ¿u+v = u + v?

Para poder comprobarlo, vamos a calcular los módulos que nos solicitan:

u+v = 42 + 12 = 17 4,1231

u = 22 + 12 = 5 2,2360

v = 22 + 02 = 4 = 2

Si hacemos las operaciones pertinentes nos damos cuenta de que aunque parece que son valores muy parecidos, el modulo de la suma de los dos vectores no es igual a la suma de sus módulos. De hecho, de forma general, si los vectores no tienen la misma dirección:

u+ v  u + v

No hemos encontrado ninguna fórmula destacable en este ejercicio.