Suma de vectores básica

Cuestión a)

Lo que se nos pide en este ejercicio, es representar gráficamente el vector resultante de sumar u y v que denotaremos como u+v.

Tal y como hemos visto, la suma de vectores desde un punto "gráfico" se puede resolver mediante 2 métodos:

• Método de la cabeza con cola.
• Regla del Paralelogramo.

Para representar u+v, usaremos la primera de ellas.

1. Desplazamos u de forma que su punto de origen coincida con el origen de coordenadas y mantenemos, su dirección, módulo y sentido.
2. Desplazamos v de forma que su punto de origen coincida con el extremo del vector u, manteniendo igualmente su dirección, módulo y sentido.
3. Trazamos un vector u+v cuyo punto de aplicación es el punto de origen de u y su extremo es el punto de extremo de v.

Cuestión b)

En este apartado, lo que se nos pide es la ecuación del vector resultado de sumar u y v. El cálculo de dicha ecuación resulta más fácil si disponemos de las ecuaciones de u y v, sin embargo no nos las proporcionan en el ejercicio. De lo que si disponemos es de los puntos origen y extremos, lo que es muchísima información ya que a partir de ellos podemos obtener las ecuaciones de u y v.

vector u

Llamaremos UO al punto origen y OE al punto extremo del vector u. Observando la gráfica podemos determinar que UO = (2,2) y UE = (4,3). Aplicando la definición de vector:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{u}= (U{E}_x-U{O}_x) · \overrightarrow{i}+ (U{E}_y - U{O}_y) ·\overrightarrow{j} \\ \overrightarrow{u}= (4 - 2) · \overrightarrow{i}+ (3 - 2) ·\overrightarrow{j} \\ \overrightarrow{u}= 2 · \overrightarrow{i}+ \overrightarrow{j} \end{gathered}$$

vector v

Para este vector, repetiremos los mismos pasos que para el vector u, aunque en esta ocasión llamaremos VO a su punto de origen y VE al extremo. Si nuevamente nos centramos en la gráfica, podemos deducir que VO= (2,1) y VE= (4,1). Aplicando la definición de vector:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{v}= (V{E}_x-V{O}_x) · \overrightarrow{i}+ (V{E}_y - V{O}_y) ·\overrightarrow{j} \\ \overrightarrow{v} = (4 - 2) · \overrightarrow{i}+ (1 - 1) ·\overrightarrow{j} \\ \overrightarrow{v}= 2 · \overrightarrow{i} \end{gathered}$$

En resumen, hemos obtenido la siguiente representación analítica de u y v

$$\begin{gathered} \overrightarrow{u} = 2 · \overrightarrow{i}+ \overrightarrow{j} \\ \overrightarrow{v}= 2 · \overrightarrow{i} \end{gathered}$$

De aquí podemos obtener las componentes cartesianas de ambos vectores y que nos servirán para calcular la suma:

$$\begin{gathered} u_x = 2 ⋮ u_y = 1 \\ {v}_x = 2 ⋮ v_y = 0 \end{gathered}$$

Sustituyendo en la definición de suma de vectores que hemos visto en el desarrollo del tema, el vector u + v será:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v}= (u_x+v_x) ·\overrightarrow{i}+ (u_y+v_y) · \overrightarrow{j} \\ \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v}= (2+2) ·\overrightarrow{i}+ (1+0) · \overrightarrow{j} \\ \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v}= 4 ·\overrightarrow{i}+ 1 · \overrightarrow{j} \end{gathered}$$

Cuestion c)

Para calcular el opuesto de un vector, basta con cambiar el signo de las componentes de dicho vector. Por lo tanto si

$\overrightarrow{u} = 2 · \overrightarrow{i}+ \overrightarrow{j}$

entonces su opuesto se representa de la siguiente forma:

$-\overrightarrow{u} = -2 · \overrightarrow{i}- \overrightarrow{j}$

Cuestion d)

En este punto lo que nos está preguntando es ¿$\left|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right| = \left|\overrightarrow{u}\right| + \left|\overrightarrow{v}\right|$?

Para poder comprobarlo, vamos a calcular los módulos que nos solicitan:

$\left|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right| = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17} \simeq 4,1231$

$\left|\overrightarrow{u}\right| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} \simeq 2,2360$

$\left|\overrightarrow{v}\right| = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$

Si hacemos las operaciones pertinentes nos damos cuenta de que aunque parece que son valores muy parecidos, el modulo de la suma de los dos vectores no es igual a la suma de sus módulos. De hecho, de forma general, si los vectores no tienen la misma dirección:

$\left|\overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v}\right| \ne \left|\overrightarrow{u}\right| + \left|\overrightarrow{v}\right|$