Enunciado

dificultad
Dificultad f谩cil para los ejercicios de nivel avanzado

Dados los siguientes vectores:

Calcula en el siguiente orden:

a) La representaci贸n gr谩fica de la suma de ambos vectores.
b) La representaci贸n anal铆tica de la suma de ambos vectores.
c) La representaci贸n anal铆tica del opuesto del vector u
d) 驴El m贸dulo de la suma de dos vectores es igual a la suma de los m贸dulos de cada vector individualmente?

Soluci贸n

Cuesti贸n a)

Lo que se nos pide en este ejercicio, es representar gr谩ficamente el vector resultante de sumar u y v que denotaremos como u+v.

Tal y como hemos visto, la suma de vectores desde un punto "gr谩fico" se puede resolver mediante 2 m茅todos:

  • M茅todo de la cabeza con cola.
  • Regla del Paralelogramo.

Para representar u+v, usaremos la primera de ellas.

  1. Desplazamos u de forma que su punto de origen coincida con el origen de coordenadas y mantenemos, su direcci贸n, m贸dulo y sentido.
  2. Desplazamos v de forma que su punto de origen coincida con el extremo del vector u, manteniendo igualmente su direcci贸n, m贸dulo y sentido.
  3. Trazamos un vector u+v cuyo punto de aplicaci贸n es el punto de origen de u y su extremo es el punto de extremo de v.

Cuesti贸n b)

En este apartado, lo que se nos pide es la ecuaci贸n del vector resultado de sumar u y v. El c谩lculo de dicha ecuaci贸n resulta m谩s f谩cil si disponemos de las ecuaciones de u y v, sin embargo no nos las proporcionan en el ejercicio. De lo que si disponemos es de los puntos origen y extremos, lo que es much铆sima informaci贸n ya que a partir de ellos podemos obtener las ecuaciones de u y v.

vector u

Llamaremos UO al punto origen y OE al punto extremo del vector u. Observando la gr谩fica podemos determinar que UO = (2,2) y UE = (4,3). Aplicando la definici贸n de vector:

u=(UEx-UOx)i+(UEy-UOy)ju=(4-2)i+(3-2)ju=2i+j

vector v

Para este vector, repetiremos los mismos pasos que para el vector u, aunque en esta ocasi贸n llamaremos VO a su punto de origen y VE al extremo. Si nuevamente nos centramos en la gr谩fica, podemos deducir que VO= (2,1) y VE= (4,1). Aplicando la definici贸n de vector:

v=(VEx-VOx)i+(VEy-VOy)jv=(4-2)i+(1-1)jv=2i

En resumen, hemos obtenido la siguiente representaci贸n anal铆tica de u y v

u=2i+jv=2i

De aqu铆 podemos obtener las componentes cartesianas de ambos vectores y que nos servir谩n para calcular la suma:

ux=2uy=1vx=2vy=0

Sustituyendo en la definici贸n de suma de vectores que hemos visto en el desarrollo del tema, el vector u + v ser谩:

u+v=(ux+vx)i+(uy+vy)ju+v=(2+2)i+(1+0)ju+v=4i+1j

Cuestion c)

Para calcular el opuesto de un vector, basta con cambiar el signo de las componentes de dicho vector. Por lo tanto si

u=2i+j

entonces su opuesto se representa de la siguiente forma:

-u=-2i-j

Cuestion d)

En este punto lo que nos est谩 preguntando es 驴u+v=u+v?

Para poder comprobarlo, vamos a calcular los m贸dulos que nos solicitan:

u+v=42+12=174,1231

u=22+12=52,2360

v=22+02=4=2

Si hacemos las operaciones pertinentes nos damos cuenta de que aunque parece que son valores muy parecidos, el modulo de la suma de los dos vectores no es igual a la suma de sus m贸dulos. De hecho, de forma general, si los vectores no tienen la misma direcci贸n:

u+vu+v

Autor art铆culo
Sobre el autor
Jos茅 L. Fern谩ndez es ingeniero de telecomunicaciones, profesor y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo libre a escribir art铆culos para Fisicalab y a ayudar a Link a salvar Hyrule.

No hemos encontrado ninguna f贸rmula destacable en este ejercicio.


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