¿Qué es un vector?

En este apartado vamos a ayudarte a entender los vectores a trevés de los siguientes puntos:

• Concepto e ideas previas
• Definición
  • Características
  • Notación
• Elementos para operar con vectores
  • Componentes
  • Módulo
• Operaciones
• Aplicaciones en física

¿Preparado para "vectorizar" tus ideas?

Concepto

Las matemáticas son una herramienta que nos ayuda a describir fenómenos reales de una forma precisa. Para ello los científicos trabajamos con magnitudes.

A grandes rasgos, una magnitud es una propiedad que podemos observar en cualquier cuerpo o fenómeno y que podemos cuantificar (darle un valor) mediante un proceso de medida. Ejemplos de magnitudes pueden ser la masa de un objeto (m), la temperatura (T), la velocidad (v), etc.

Si lo piensas un poco, te darás cuenta que dentro de las magnitudes se pueden distinguir dos grandes tipos:

• Magnitudes escalares o numéricas. Aquellas que quedan definidas por un valor numérico y su correspondiente unidad. Por ejemplo, para saber la masa de un objeto no necesitamos más información que su valor y su unidad (3 Kg).
• Magnitudes vectoriales. Son aquellas en las que necesitamos, además, información sobre la dirección y sentido en que se manifiesta. Toda esa información nos la proporcionan los vectores.

Fuerza y velocidad son ejemplos de magnitudes vectoriales

Para saber los efectos que una fuerza puede provocar sobre un cuerpo es necesario conocer, además del valor, la dirección y el sentido en el que actúa. Los efectos sobre la caja hubieran sido diferentes si la fuerza ejercida por Alejandro fuese en sentido contrario, o hacia abajo, por ejemplo. De ahí que digamos que la fuerza es una magnitud vectorial, y la representemos con una flecha. La velocidad, por su parte, también lo es, ya que observando la flecha en un instante concreto somos capaces de saber en qué dirección y sentido se está desplazando la caja.

Definición y elementos

La palabra vector proviene del latín vector, que significa "el que conduce", "el que acarrea" ó "el que transporta". Pero, ¿qué son?

Elementos de un vector

En la imagen tenemos 4 vectores. El vector $\overrightarrow{AB}$ con origen en el punto A y extremo en el punto B, el vector $\overrightarrow{DE}$ con origen en el punto D y extremo en el C, el $\overrightarrow{DE}$, con origen en el punto D y extremo en el punto E y, finalmente, el vector $\overrightarrow{FG}$ con origen en el punto F y extremo en el G. Todos ellos cuentan con:

• Módulo. Se trata de la distancia entre el origen y el extremo del vector, es decir, su tamaño. Se designa con el mismo símbolo del valor absoluto ($\left|\overrightarrow{AB}\right|$ por ejemplo), ya que se trata de un valor numérico que es siempre positivo o cero. Por ejemplo $\left|\overrightarrow{AB}\right|=8$. En la gráfica vemos que los vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{FG}$ son de igual módulo, y los vectores $\overrightarrow{DE}$ y $\overrightarrow{DC}$ tienen por módulo la mitad de los anteriores. Es decir $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{FG}\right|=2·\left|\overrightarrow{DE}\right|=2·\left|\overrightarrow{DC}\right| \hspace{0.17em}$
• Dirección. Recta sobre la que se encuentra el vector, y todas las paralelas a la misma. Así, es evidente que los vectores $\overrightarrow{DE}$ y $\overrightarrow{DC}$ tienen igual dirección. Pero también la tiene el vector $\overrightarrow{AB}$
• Sentido. Uno de los dos posibles que se pueden dar a lo largo de la recta definida por la dirección. Observa que los vectores $\overrightarrow{DC}$ y $\overrightarrow{DE}$ tienen sentidos opuestos.

Características

Algunas características de los vectores son las siguientes:

• Decimos que dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido, aunque tengan un punto origen distinto. A los vectores iguales también se les llama equipolentes y se sitúan, por tanto, sobre rectas paralelas
• Al conjunto de todos los vectores iguales se le denomina vector libre, y tiene definido su módulo, su dirección y su sentido (o, como veremos más abajo, sus componentes), pero no su punto de aplicación.
• Se habla de vector fijo cuando su origen y su extremo están establecidos en puntos concretos. Un vector fijo es un representante de un vector libre
• A aquellos vectores cuyo módulo es la unidad se les denomina vectores unitarios

Vectores equipolentes, fijos y libres

Observa en la imagen los vectores rojos a la izquierda. El vector $\overrightarrow{AB}$ , el vector $\overrightarrow{AB\text{'}}$ , el $\overrightarrow{AB\text{'}\text{'}}$ y el $\overrightarrow{AB\text{'}\text{'}\text{'}}$. Todos ellos tienen su origen y su extremo definidos en los puntos marcados con bolitas azules, y son por tanto vectores fijos. Dado que tienen igual tamaño (módulo), sentido y direcciones paralelas, se trata de vectores equipolentes entre sí (iguales). Cualquiera de ellos sería una representación del vector libre $\overrightarrow{x}$. Existen infinitos representantes del vector libre $\overrightarrow{x}$, como se pone de relieve en la animación. Por otro lado, los vectores en verde, a la derecha, guardan entre sí relaciones similares.

Notación

Normalmente podemos referir los vectores de dos maneras:

• La primera, mediante dos letras mayúsculas que representan el origen y el extremo del vector, y una pequeña flecha encima. Por ejemplo $\overrightarrow{AB}$
• La segunda, mediante una letra, mayúscula o minúscula, y una pequeña flecha arriba, indicando que se trata de un vector. Por ejemplo $\overrightarrow{v}$
• A la hora de escribirlos a mano, en tu libreta por ejemplo, es habitual sustituir la flechita por un simple "palito": $\overline{v}$ ó $\overline{AB}$
• Algunos textos utilizan simplemente la negrita para referirse a magnitudes vectoriales (aunque no es lo habitual hoy día) v ó AB
• Para el caso de los vectores unitarios se puede sustituir la "flechita" por un acento circunflejo: $\hat{i}$

Para nosotros lo habitual será utilizar cualquiera de las dos primeras opciones. En cualquiera de los casos, para escribir el módulo de $\overrightarrow{AB}$ podemos escribir AB o simplemente $\left|\overrightarrow{AB}\right|$. Para escribir el módulo de $\overrightarrow{v}$ podemos escribir $\left|\overrightarrow{v}\right|$ o v.

Elementos para operar con vectores

Hasta ahora hemos visto algunas definiciones que nos permiten entender conceptualmente qué son los vectores. También podrías calcular elementos tales como el módulo "midiendo" por ejemplo los tamaños de las flechas sobre las gráficas, pero... ¿cómo operar analíticamente con los vectores? Para "echar números", esto es, utilizar las leyes de la aritmética y del álgebra, debemos empezar precisamente por ser capaces de definir los vectores con números.

Componentes

Para estudiar este apartado, te recomendamos que tengas abierta esta simulación de las componentes de un vector, y vayas identificando cada uno de los elementos tratados.

También se pueden entender las componentes de un vector como las proyecciones sobre un sistema de vectores ortonormales (esto es, sistema de vectores unitarios perpendiculares entre sí). Se trata de una forma de escribir los vectores particularmente extendida en física. De esta manera, considerando los vectores unitarios y perpendiculares $\hat{i}$, en la dirección del eje x y $\hat{j}$ , en la dirección del eje y, podemos escribir:

$$\overrightarrow{AB}=A{B}_x\hat{i}+A{B}_y\hat{j}$$

Por ejemplo:

$$\overrightarrow{AB}=\left(3, 2\right)=3\hat{i}+2\hat{j}$$

Volveremos a esta idea cuando veamos qué es una base de vectores.

Finalmente, en ocasiones verás que se habla de coordenadas de un vector. Nosotros preferimos reservar ese término para los puntos, hablando de coordendas de un punto, y de componentes de un vector.

Módulo

La expresión anterior proviene de la aplicación del teorema de Pitágoras.

Relación entre módulo y componentes

Observa como el vector y sus componentes forman un triángulo rectángulo. Podemos deducir que:

$$\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB=\sqrt{{A{B}_x}^2+AB{{}_y}^2}$$

Conociéndo el ángulo que forma el vector con la horizontal (α) o con la vértical (β), podemos calcular las componentes del vector. Para ello aplicamos las definiciones del seno y del coseno.

$$\begin{array}{c}A{B}_x=AB·\cos \left(\alpha \right)=AB·\sin \left(\beta \right)\\ A{B}_y=AB·\sin \left(\alpha \right)=AB·\cos \left(\beta \right)\end{array}$$

Finalmente, conocidas las componentes también podrías calcular el ángulo, aplicando, por ejemplo:

$$\begin{array}{c}\tan \left(\alpha \right)=\frac{A{B}_y}{A{B}_x}\Rightarrow \alpha ={\tan }^{-1}\left(\frac{A{B}_y}{A{B}_x}\right)\\ \tan \left(\beta \right)=\frac{A{B}_x}{A{B}_y}\Rightarrow \beta ={\tan }^{-1}\left(\frac{A{B}_x}{A{B}_y}\right)\end{array}$$

Ejemplos

Dicen que una imagen vale más que mil palabras... Veamos todo esto con algunos ejemplos sobre el gráfico.

Ejemplos

• $\overrightarrow{OA}$
  • Origen: O(0, 0)
  • Extremo: A(1, -1)
  • Componentes: $\overrightarrow{OA}=\left(1-0, -1-0\right)=\left(1, -1\right)$
  • Módulo: $\left|\overrightarrow{OA}\right|=\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{2}$
  • Ángulo con eje x : $\alpha ={\tan }^{-1}\left(\frac{-1}{1}\right)=-45º$
• $\overrightarrow{BC}$
  • Origen: B(3, 0)
  • Extremo: C(4, -1)
  • Componentes: $\overrightarrow{BC}=\left(4-3, -1-0\right)=\left(1, -1\right)$
  • Módulo: $\left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{2}$
  • Ángulo con eje x : $\alpha ={\tan }^{-1}\left(\frac{-1}{1}\right)=-45º$
• $\overrightarrow{DE}$
  • Origen: D(1, 1)
  • Extremo: E(4, 2)
  • Componentes: $\overrightarrow{DE}=\left(4-1, 2-1\right)=\left(3, 1\right)$
  • Módulo: $\left|\overrightarrow{DE}\right|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$
  • Ángulo con eje x : $\alpha ={\tan }^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)=18.4º$

Por otra parte, observa que, como en el caso de $\overrightarrow{OA}$, si el origen del vector coincide con el sistema de coordenadas, las componentes del vector coinciden con las coordenadas de su punto extremo (esto es, el vector de posición del punto extremo). Observa también que el vector $\overrightarrow{OA}$ y $\overrightarrow{BC}$ son equipolentes.

Operaciones

Al igual que ocurre con los números, los vectores se mueden sumar, restar, multiplicar... Concretamente, podemos realizar las siguientes operaciones:

• Suma
• Resta
• Multiplicación de un número por un vector
• Multiplicación de dos vectores
  • Producto escalar
  • Producto vectorial

Vectores en física

Hay muchas magnitudes en física que son vectoriales. En la siguiente tabla recogemos algunos ejemplos.