Fundamentos Matemáticos III

Habilidades

Matemáticas básicas

Ficha de contenidos

Las matemáticas son el lenguaje que nos permite a los físicos describir los fenómenos y predecir la realidad.

Para describir algunas magnitudes nos bastará dar un número y una unidad. En cambio, para otras será necesario aportar más información, como son la dirección y el sentido de la misma. En este tema nos vamos a centrar fundamentalmente en describir la herramienta matemática que nos permite aportar dicha información: los vectores. Además, abordaremos el concepto de potencia en el campos de los números complejos.

Ficha de ejercicios resueltos

Pon a prueba lo que has aprendido en el tema Fundamentos Matemáticos III con esta lista de ejercicios con sus respectivas soluciones y clasificados por apartados.

Concepto de Vector

¿Escalar o vectorial?

dificultad

Determina si son escalares o vectoriales las siguientes magnitudes:

a) Volumen
b) Carga
c) Fuerza
d) Área

Representación de Vectores

Representando un vector

dificultad

Dado el siguiente vector:

$\vec{a} = 5 \cdot \vec{i} + 4 \cdot \vec{j}$

Represéntalo gráficamente.

Suma de Vectores

Suma de vectores básica

dificultad

Dados los siguientes vectores:

Calcula en el siguiente orden:

a) La representación gráfica de la suma de ambos vectores.
b) La representación analítica de la suma de ambos vectores.
c) La representación analítica del opuesto del vector u
d) ¿El módulo de la suma de dos vectores es igual a la suma de los módulos de cada vector individualmente?

Diferencia de Vectores

Al final... restar es sumar

dificultad

Dados los siguientes vectores, $\vec{a} = - 7 \cdot \vec{i} + 5 \cdot \vec{j}$ y $\vec{b} = \vec{i} + 2 \cdot \vec{j}$ .

a) Calcula analíticamente el opuesto del vector $\vec{a}$ y del vector $\vec{b}$ .
b) Calcula analíticamente el vector $\vec{c}$ que se obtiene como resultado de restar el vector $\vec{a}$ y el vector $\vec{b}$ .

Producto de un Vector por un Escalar

Vector unitario y producto de escalar por vector 2D

dificultad

Dado el vector

$\vec{a} = 3 \cdot \vec{i} + 4 \cdot \vec{j}$

a) Calcula $2 \cdot \vec{a}$
b) Calcula el vector unitario de $\vec{a}$ , ${\vec{u}}_{a}$

Producto Escalar de Vectores

Producto escalar en el plano

dificultad

Dados los vectores:

$\begin{matrix} \vec{a} = - \vec{i} + 3 \cdot \vec{j} \\ \vec{b} = 2 \cdot \vec{i} - 2 \cdot \vec{j} \\ \vec{c} = - 4 \cdot \vec{i} - \vec{j} \end{matrix}$

Calcular:

a) $\vec{a} \cdot \vec{b}$
b) $\vec{b} \cdot \vec{c}$

Ángulo formado por dos vectores en 2 dimensiones

dificultad

¿Qué ángulo forma el vector $\begin{matrix} \vec{a} = - 2 \cdot \vec{i} + 3 \cdot \vec{j} \end{matrix}$ con $\begin{matrix} \vec{b} = - 4 \cdot \vec{i} + 3 \cdot \vec{j} \end{matrix}$ ?

Potencias de Números Complejos

Potencias de i

dificultad

Simplifica las siguientes potencias de i

a) i¹² b) i³³ c) i^-9 d) i¹²³

Ecuaciones paramétricas de la recta

Calcular ecuaciones paramétricas con un punto y un vector

dificultad

Determina las ecuaciones paramétricas de una recta que pasa por el punto A(2,1) y posee un vector director $\vec{v} = (- 3, 5)$ . ¿Podrías indicar otro punto más de dicha recta?

Un punto pertenece a la recta?

dificultad

Dada las siguientes ecuaciones paramétricas de una recta cualquiera determinar si los puntos A(-8,1) y B(2,5) pertenecen a dicha recta.

$\{\begin{cases} x = 1 - λ 3 \\ y = - 2 + λ \end{cases}$

Ecuación continua de la recta

La ecuación continua de una recta conociendo su vector y un punto

dificultad

Determina la ecuación continua de una recta que pasa por el punto A(7,-2) y posee un vector director $\vec{v} = (- 3, 5)$ . ¿Podrías indicar otro punto más de dicha recta?

Ecuación continua de una recta conocidos dos puntos

dificultad

Sabiendo que A(-1,2) y B(5,0) pertenecen a una recta r, determinar su ecuación continua.

Ecuación punto-pendiente de la recta

Ecuación punto-pendiente conocida la pendiente y un punto

dificultad

Determina la ecuación punto pendiente de una recta r que pasa por el punto A(3,-1) y cuya pendiente es 1/2. ¿Podrías indicar otro punto cualquiera de la recta?

Vector director a partir de la pendiente de una recta

dificultad

Sabiendo que una recta s posee una pendiente m=1/3 y pasa por el punto (1,1), determinar un vector director de la misma.

Rectas Paralelas

Paralelismo de dos rectas

dificultad

Determina si las ecuaciones de las rectas r ≡ 7x - y + 2 = 0 y s ≡ 4x - 2y + 3 = 0 son paralelas.

Cálculo de la ecuación de la recta paralela a otra y que pasa por un punto

dificultad

Dada la ecuación de la recta 2x-y+3 = 0, determina la ecuación de la recta paralela a ella y que pase por el punto (1,3).

Encontrar una recta paralela a otra dada

dificultad

Dada la ecuación de la recta 3x + 2y + 5 = 0, determina otra recta distinta que sea paralela a ella.

Rectas Perpendiculares. Perpendicularidad

Perpendicularidad de dos rectas

dificultad

Determina si las ecuaciones de las rectas r ≡ 4x + 2y + 3 = 0 y s ≡ 4x - 8y + 5 = 0 son perpendiculares.

Recta Perpendicular a otra dada

dificultad

Dada la ecuación de la recta 7x - 4y + 1 = 0, determina otra recta distinta que sea perpendicular a ella.

Recta perpendicular a otra que pasa por un punto determinado

dificultad

Dada la ecuación de la recta 3x-2y+1 = 0, determina la ecuación de la recta perpendicular a ella y que pase por el punto (1,3).

Ficha de fórmulas

Aquí tienes un completo formulario del tema Fundamentos Matemáticos III. Entendiendo cada fórmula serás capaz de resolver cualquier problema que se te plantee en este nivel.

Pulsa sobre el icono para exportarlas a cualquier programa externo compatible.

Producto Escalar de Vectores

Producto escalar

\vec{a} \cdot \vec{b} = a \cdot b \cdot \cos (α)

Representación analítica del producto escalar en cartesianas

\vec{a} \cdot \vec{b} = (a_{x} \cdot b_{x}) + (a_{y} \cdot b_{y}) + (a_{z} \cdot b_{z})

Ecuación vectorial de la recta

Ecuación vectorial de la recta

(x, y) = (a_{1}, a_{2}) + λ (v_{1}, v_{2}) λ \in ℝ

Ecuaciones paramétricas de la recta

Ecuaciones paramétricas de la recta (punto-vector)

\{\begin{cases} x = a_{1} + λ \cdot v_{1} \\ y = a_{2} + λ \cdot v_{2} \end{cases} λ \in ℝ

Ecuaciones paramétricas de la recta (dos puntos)

\{\begin{cases} x = a_{1} + λ \cdot (b_{1} - a_{1}) \\ y = a_{2} + λ \cdot (b_{2} - a_{2}) \end{cases} λ \in ℝ

Ecuación continua de la recta

Ecuación continua de la recta conocidos un punto y un vector

\frac{x - a_{1}}{v_{1}} = \frac{y - a_{2}}{v_{2}}

Ecuación continua de la recta conocidos dos puntos

\frac{x - a_{1}}{b_{1} - a_{1}} = \frac{y - a_{2}}{b_{2} - a_{2}}

Ecuación punto-pendiente de la recta

Ecuación punto-pendiente de una recta

y - a_{2} = m \cdot (x - a_{1})

Ficha de temas relacionados

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