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  • Matemáticas básicas

Ficha de contenidos

Con la aparición de las funciones, en matemáticas, surgió la necesidad de analizarlas de forma rigurosa. Aunque el concepto de paso al límite permitió, ya en la Antigüedad, resolver problemas imposibles mediante los sencillos procedimientos de la arimética o la geometría, su uso era meramente intuitivo. Así consiguió Arquímedes, por ejemplo, calcular la superficie de recintos curvos. No obstante, no fue hasta el S. XIX que Cauchy y Weierstrass dieron una definción rigurosa de esta idea.

En este tema vamos a profundizar en el concepto y el cálculo de límites de funciones. Partiendo de la idea de aproximaciones sucesivas, veremos como podemos llegar a conocer el valor de una magnitud.

Para abordar con soltura los contenidos de este tema te recomendamos que estés familiarizazdo con las funciones, además, por supuesto, de conocer las operaciones matemáticas básicas.

Ficha de ejercicios resueltos

Pon a prueba lo que has aprendido en el tema Límites de Funciones con esta lista de ejercicios con sus respectivas soluciones y clasificados por apartados.

Cálculo del Límite de una Función en un Punto

Límites sencillos en un punto

dificultad

Resuelve los siguientes límites directos:

  1. limx2(x+3)
  2. limx05x22
  3. El límite de la función fx=3xx2+x+2 en x=1
  4. limx-2x+1
  5. limtπ3cost+2
  6. limx10-3log10·x

Límites de funciones racionales en un punto

dificultad

Resuelve, cuando sea posible, los límites de las funciones racionales siguientes, e interpreta el resultado graficamente:

  1. limx3x2+xx+3
  2. limx3x3-27x+3
  3. limx-15x+-xx3+1
  4. limx1x2-1x-12
  5. limx1x2-3x-12
  6. limx22x2-10x+12x2+3x-10
  7. El límite de la función fx=x3x2-4 en -2, 0 y 2

Límites de funciones a trozos

dificultad

Calcula los límites de las siguientes funciones a trozos y en valor absoluto

  1. fx=x+2six<3-2x+5six3en x=3, x=0 y x=5
  2. fx=x+2six<33six=3x2-4six>3en x=0, x=3 y x=5
  3. fx=2x2-10x+1x2+3x-10six>2-3x+5six<2en x=2
  4. fx=x2six12six=1en x=1, x=3 y x=0
  5. fx=-2+2xsi-1x2-x2si-1<x12x-1six2en x=-1 y x=1
  6. fx=x2-2x en x=0 y x=2
  7. fx=xx en x=0
  8. fx=1-1+x en x=0 y x=-1

Cálculo del Límite de una Función en el Infinito

Comparación de infinitos

dificultad

Ordena, de mayor a menor, los órdenes de los infinitos que corresponderían a las siguientes funciones:

log2x3 , 1000x , 3x , x2 , logx2, x65

Límites sencillos en infinito

dificultad

Resuelve los siguientes límites directos:

  1. limx3x2+x
  2. limx-3x+x3-2
  3. limx12+e-3x
  4. limxx+2+e2x
  5. limx-log3x
  6. limh323h+1
  7. limx23lnx
  8. limx-log5-x+2·-3x2
  9. limxxx
  10. limx-xx

Límites mediante comparación de infinitos

dificultad

Resuelve los siguientes límites de manera directa, comparando el grado de los infinitos de las funciones involucradas cuando sea necesario. Representa los resultados obtenidos, al menos una vez para cada tipo (6 posibilidades en total: resultado infinito, resultado menos infinito y resultado finito cuando x tiende a infinito y a menos infinito):

  1. limxx3-x+2
  2. limx-x4-x2+2
  3. limx3x-x3+x2+x+1
  4. limx2x-ex
  5. limx-2-x-1ex
  6. limxex-ln2xπx
  7. limxlogx3+2lnex+1
  8. limxx3+3x-x2+x
  9. limx-x2-xx3+3x-lnx
  10. limx4x3+x+133x3+x
  11. limx3x2+52x+3
  12. limx-x5+63x+x10+x6
  13. Límite cuando x tiende a infinito y a menos infinito de

    fx=x2-x3+ex2ln1-x-2xsix33xsi3<x<22-x-x+log22xlnexsix2

Límites a partir de gráficas

dificultad

Determina los límites indicados, a partir de las gráficas de las funciones correspondientes. Cuando sea relevante, indica también el valor de los límites laterales: 

Funciones para hallar límites gráficamente
Función 1 Función 2
  • limx-fx
  • limx-5fx
  • limx-3fx
  • limx-2fx
  • limx0fx
  • limx2fx
  • limx3fx
  • limxfx
  • limx-fx
  • limx-4fx
  • limx-2fx
  • limx0fx
  • limx2fx
  • limxfx

Operaciones con Límites

Operaciones con límites

dificultad

Sabiendo que cuando x→2, f(x)→4, g(x)→0 y h(x)→∞, di el valor de los siguientes límites cuando sea posible:

  1. limx2fx+gx
  2. limx2fx-gx
  3. limx2hx+gx
  4. limx2hx-hx
  5. limx2fx·gx
  6. limx2hx·gx
  7. limx2fx/gx
  8. limx2gx/fx
  9. limx2gx-1
  10. limx2fxgx
  11. limx2hxgx
  12. limx23-hx
  13. limx2hx-hx
  14. limx2fx
  15. limx2log4fx

Límites Laterales

Límites laterales en gráficas

dificultad

Las siguientes gráficas corresponden a las funciones f(x), en 1, y g(x), en 2.

Gráfica de dos funciones para calcular límites laterales

Determina:

  1. limx-6-fx
  2. limx-6+fx
  3. limx-5-fx
  4. limx-5+fx
  5. limx-3-fx
  6. limx-3+fx
  7. limx-2-fx
  8. limx-2+fx
  9. limx0-fx
  10. limx0+fx
  11. limx2-fx
  12. limx2+fx
  13. limx-4-gx
  14. limx-4+gx
  15. limx-2-gx
  16. limx-2+gx
  17. limx0-gx
  18. limx0+gx
  19. limx2+gx
  20. limx0-gx-fx

Cálculo de límites laterales

dificultad

Resuelve cuando sea posible los siguientes límites:

  1. limx3-x2+xx3-3
  2. limx-1+x2-1-2x
  3. limx-1-x2-1-2x
  4. limx0-fx con fx=3x+2six<01x+2six0
  5. limx-2-fx con fx=3x+2six<01x+2six0
  6. limx-1-x2+1x5+1
  7. limx-1+x2+1x5+1
  8. limx1-1-xx-1
  9. limx1+1-xx-1

Indeterminaciones

Límites de cocientes

dificultad

Resuelve los siguientes límites. Cuando sea necesario, resuelve las indeterminaciones que obtengas:

  1. limx2x3+4x+3-5x3-xx-3
  2. limx-x5+43x4+2-x3
  3. limx-3x3+x2-9x-92x2+2x-12
  4. limx1-x3+x8x2+x-24
  5. limx0x2-5x+3x2+3x-x3+2x+4x3+4x
  6. limx3x10x5-2
  7. limx2x+2-2x+7-3
  8. limx04+x-4-x2x
  9. limx2x3-x2·2x+5x23x+2
  10. limx4x2+29x
  11. limx4x-2x-2x

Límites con el número e

dificultad

Calcula, cuando sea posible, los siguientes límites:

  1. limx1+13xx
  2. limx1-13x2x
  3. limx3x2+x-13x2-22x+1
  4. limx7x2-7x+2x-5x+2x-7
  5. limx23+x2-x3x2+2x2+x21+x
  6. limx1-x+11-x2-x
  7. limxπ/21+cosx3·secx
  8. limx-x4+x3-x2+3x3-x3+xx2x2-3x

Buscar parámetro función dado el valor del límite

dificultad

Determina el valor de k para que el valor de los límites correspondientes sea el indicado:

  1. limx2kx4-3kx2+kx-5x2-4x4=1
  2. limx2x2-kx-3+2x2=2
  3. limx2x2+kx+22x2-x5x2-1x=1e4

Resolución de límites

dificultad

Calcula, cuando sea posible, los siguientes límites. En caso de obtener alguna indeterminación, resuélvela por el método que consideres oportuno:

  1. limxx2+6x-x
  2. limxx5x
  3. limx-x-2x+3x2-6x+x
  4. limx0x3-x-5x2+3x-5
  5. limx3e1x3-1
  6. limx0x3-x-5x2+3x-5+x2+x2x2+2x
  7. limx-5x3-1

Asíntotas de una Función

Asíntotas a partir de gráficas de funciones

dificultad

A partir de las siguientes gráficas de funciones, determina la ecuación de las asíntas de cada una de ellas:

Funciones con asíntotas

Nota: Considera que cada cuadro de las cuadrículas tiene una longitud de una unidad en horizontal y una unidad en vertical.

Cálculo de asíntotas

dificultad

Determina la ecuación de las asíntotas de las siguientes funciones. Sitúa asimismo la curva respecto a las mismas:

  1. fx=2-4x2x2-1
  2. fx=x2+2x3
  3. fx=x2-4x+1
  4. fx=x5+23
  5. fx=x3x2+2

Ramas Parabólicas de una Función

Calcular ramas parabólicas

dificultad

Determina si hay ramas verticales en las siguientes funciones:

  1. fx=x3+4x
  2. f(x)=lnx+3
  3. f(x)=x+x

Continuidad de Funciones

Continuidad y sus tipos en gráficas

dificultad

Determina la continuidad de las funciones representadas en las siguientes gráficas, y clasifica las discontinuidades que encuentres.

Gráficas para determinar la continuidad.

Nota: Considera que cada cuadro tiene una longitud de una unidad de largo y una de alto.

Continuidad en un punto

dificultad

Estudia la continuidad de las siguientes funciones en los puntos indicados. Cuando sea posible, redefine las funciones para que sean continuas.

  1. fx= x2+3x5 en x=53
  2. fx=3+xx-3 en x=3 y x=0
  3. fx=x3-2x2+3x-6x2-x-2 en x=2
  4. fx=2xsix2x-1six>2en x=2
  5. fx=3-lnx en x=e

Continuidad en un intervalo

dificultad

Di si las siguientes funciones son continuas en los intervalos indicados:

  1. fx=x+3 en -3,3
  2. fx=3+x2-x en -3, 3
  3. fx=x2+x-3x2-4x+3 en 1,3 y en 1, 3

Estudiar la continuidad de una función

dificultad

Determina si las siguientes funciones son continuas o no. En caso de no serlo, estudia el tipo de discontinuidad que presentan:

  1. fx=x5+3x2+x2+1
  2. fx=x-13x+1
  3. fx=x+22x2+2x-4
  4. fx=3x+2six1x2+x+3six>1
  5. fx=x-1x+2six<01x2+x-2six>0
  6. fx=3x+2six<-32x+3si-3x<03six0
  7. fx=3x+2six<-32x+3si-3x<03six0
  8. fx=e13-x
  9. fx=exsix>1lnxsix1
  10. fx=3-3-xx

Continuidad según parámetro

dificultad

Estudia la continuidad de la función teniendo en cuenta el parámetro a:

  1. fx=3six<0x+asix0
  2. fx=ax+2six0lna+xsix>0 y a>0
  3. fx=2+x2-xsix<-1asix=-1-1+x+2x2+12six>-1

Ficha de fórmulas

Aquí tienes un completo formulario del tema Límites de Funciones. Entendiendo cada fórmula serás capaz de resolver cualquier problema que se te plantee en este nivel.

Pulsa sobre el icono   para exportarlas a cualquier programa externo compatible.

Límite de una Función en un Punto

Condición necesaria y suficiente de existencia del límite

 limxa-fx=limxa+fx=Llimxafx=L

Definición de límite de una función en un punto

limxafx=Lε>0, δ>0 |xDomf , 0<x-a<δfx-L<ε

Operaciones con Infinito

Resumen de operaciones con infinito

k±=±±+=±±·k=± Si k>0±·k= Si k<0·±=±-·±=k±=0 0=k0=

Cálculo del Límite de una Función en un Punto

Condición necesaria y suficiente de existencia del límite

 limxa-fx=limxa+fx=Llimxafx=L

Valor del límite de una función continua en un punto

limxafx=fa

Límite de P(x)/Q(x) en un punto en que se anula sólo Q(x)

Qa=0 y Pa=k0limxaPxQx=±

Límite de P(x)/Q(x) en un punto en que se anulan P(X) y Q(x)

Qa=Pa=0Px=x-a·PsxQx=x-a·QsxlimxaPxQx=limxaPsxQsx

Límite de la suma y resta de funciones

lim fx±gx=lim fx±lim gx=a±b

Límite del producto de funciones

lim fx·gx=lim fx·lim gx=a·b

Límite del cociente de funciones

lim fxgx=lim fxlim gx=ab

Límite de la función constante

lim k=klim k·fx=k·lim fx

Límite de la potencia de dos funciones

lim fxgx=lim fxlim gx=ab

Límite de la composición de funciones

lim fgx=lim fgx=flim gx=fa

Límite de una Función en el Infinito

Definición de límite de una función en el infinito, valor finito

limxfx=Lε>0, h|Si x>hfx-L<ε

Definición de límite de una función en el menos infinito, valor finito

limx-fx=Lε>0, h|Si x<hfx-L<ε

Definición de límite de una función en el infinito, valor infinito

limxfx=k, h|Si x>hfx>k

Definición de límite de una función en el menos infinito, valor infinito

limx-fx=k, h|Si x<hfx>k

Definición de límite de una función en el infinito, valor menos infinito

limxfx=-k, h|Si x>hfx<k

Definición de límite de una función en el menos infinito, valor menos infinito

limx-fx=-k, h|Si x<hfx<k

Cálculo del Límite de una Función en el Infinito

Cambio de variable para límites en menos infinito

limx-fx=limxf-x

Comparación de infinitos

limxfxg(x)=±limxgxf(x)=0Orden f > Orden g

Límite de la suma y resta de funciones

lim fx±gx=lim fx±lim gx=a±b

Límite del producto de funciones

lim fx·gx=lim fx·lim gx=a·b

Límite del cociente de funciones

lim fxgx=lim fxlim gx=ab

Límite de la función constante

lim k=klim k·fx=k·lim fx

Límite de la potencia de dos funciones

lim fxgx=lim fxlim gx=ab

Límite de la composición de funciones

lim fgx=lim fgx=flim gx=fa

Operaciones con Límites

Límite de la suma y resta de funciones

lim fx±gx=lim fx±lim gx=a±b

Límite del producto de funciones

lim fx·gx=lim fx·lim gx=a·b

Límite del cociente de funciones

lim fxgx=lim fxlim gx=ab

Límite de la función constante

lim k=klim k·fx=k·lim fx

Límite de la potencia de dos funciones

lim fxgx=lim fxlim gx=ab

Límite de la composición de funciones

lim fgx=lim fgx=flim gx=fa

Límites Laterales

Condición necesaria y suficiente de existencia del límite

 limxa-fx=limxa+fx=Llimxafx=L

Límite lateral izquierdo infinito de una función en un punto

limxa-fx=k>0, δ>0 | xDomf , a-δ<x<afx>k

Límite lateral izquierdo menos infinito de una función en un punto

limxa-fx=-k<0, δ>0 | xDomf , a-δ<x<afx<k

Límite lateral izquierdo finito de una función en un punto

limxa-fx=Lε>0, δ>0 | xDomf , a-δ<x<a|fx-L|<ε

Límite lateral derecho infinito de una función en un punto

limxa+fx=k>0, δ>0 | xDomf , a<x<a+δfx>k

Límite lateral derecho menos infinito de una función en un punto

limxa+fx=-k<0, δ>0 | xDomf , a<x<a+δfx<k

Límite lateral derecho finito de una función en un punto

limxa+fx=Lε>0, δ>0 | xDomf , a<x<a+δ|fx-L|<ε

Indeterminaciones

Número e como límite de una función

limfx1+1fxfx

Asíntotas de una Función

Asíntota vertical

limxkfx=± ó limxk-fx=± ó limxk+fx=±

Asíntota horizontal

limxfx=k ó limx-fx=k

Asíntota oblicua

1 limxfx=± ;2 m=limxfxx ;3 n=limxfx-mx 

Ramas Parabólicas de una Función

Rama parabólica con eje horizontal de una función

limxfx=± y limxfxx=0

Rama parabólica con eje vertical de una función

limxfx=± y limxfxx=±

Rama parabólica con eje oblicuo de una función

limxfx=± y  m=limxfxx0 y limxfx-mx=±

Continuidad de Funciones

Continuidad de una función en un punto

fa=limxafx

Definición formal de continuidad en un punto

1.  fa2. ε>0, δ>0 | si x-a<δfx-fa<ε

Discontinuidad evitable

1. limxafx=k2.  fa ó fak

Discontinuidad de salto finito

limxa-fx=klimxa+fx=l  con kl y k,l

Discontinuidad de salto infinito

limxa-fx=± y/o limxa+fx=±

Ficha de temas relacionados

El tema no se encuentra disponible en otros niveles educativos.