La derivación logarítmica es una técnica de derivación que nos permite hallar la derivada de una función aplicando las propiedades de los logaritmos. Aunque se puede utilizar para resolver muchos tipos de derivadas, es especialmente útil para las funciones de tipo potencial-exponencial:

fx=gxϕx

Como ves, f(x) es una función g(x) elevada a otra función ϕ(x),. No se trata, por tanto de una función potencial, porque el exponente no es un número real constante, ni de una exponencial, porque la base tampoco es constante. De ahí el nombre potencial-exponencial usado.

Para aplicar la técnica de derivación logarítmica a la función potencial-exponencial:

  1. Tomamos logaritmos en ambos miembros de la igualdad (como ambos miembros de la ecuación son iguales, al aplicar la misma operación a ambos, la igualdad se mantiene):

    fx=gxϕxlnfx=lngxϕx

  2. Aplicamos las propiedades de los logaritmos, concretamente lnab=b·lna, quedando:

    lnfx=lngxϕxlnab=b·lnalnfx=ϕx·lngx

  3. Derivamos los dos miembros (si las funciones son iguales, sus derivadas también deben de serlo):

    Dlnfx=Dϕx·lngxDlnfx=1fx·f'xDu·v=u'·v+u·v'f'xfx=ϕ'x·lngx+ϕx·g'xgx

  4. Despejamos f(x)

    f'x=fx·ϕ'x·lngx+ϕx·g'xgx

En ocasiones puedes que veas aplicada directamente la fórmula final a la que hemos llegado:

f'x=fx·ϕ'x·lngx+ϕx·g'xgx

Nosotros sin embargo te recomendamos que sigas los pasos indicados, pues es mucho más sencillo e intuitivo que tratar de memorizar semejante fórmula.

Como restricción, ten en cuenta que, dado que el dominio de la función logarítmica es +, en sentido riguroso f(x) debería tomar valores estrictamente positivos para poder aplicar esta técnica.

Pasos para la derivación logarítmica

Pasos para la derivación logarítmica

De manera sintetizada, la derivación logarítmica consiste en aplicar logaritmos en ambos miembros de la ecuación y derivarlos. Ten presente que, tras aplicar logaritmos debes utilizar sus propiedades para obtener una ecuación más sencilla (desde el punto de vista de la derivación), y tras derivar deberás despejar f'(x).

Ejemplo

Como ejemplo derivaremos la función fx=xx:

fx=xxln=lnlnfx=lnxxlnab=b·lnalnfx=x·lnxD=Df'xfx=1·lnx+xxf'x=fx·lnx+1f'x=xx·lnx+1

Otro tipo de funciones

En este nivel educativo nos centraremos sobre todo en la aplicación de la derivación logarítmica para las funciones potenciales-exponenciales. Sin embargo, estas no son las únicas que pueden "beneficiarse" de la derivación logarítmica.

Recuerda las siguientes propiedades de los logaritmos:

  1. logab=b·loga
  2. loga·b=loga+logb
  3. loga/b=loga-logb

Así, al tomar logaritmos puedes también convertir los productos y cocientes en sumas y restas respectivamente. De esta manera, en ocasiones derivar la función con logaritmos será más sencillo que derivar la propia función. Se trata, como hasta ahora, de derivar el logaritmo de la función, como si conociéramos cual es la derivada de la función, y despejarla en la expresión resultante (especialmente con 3 o más factores). Veámoslo mediante un ejemplo. Derivaremos la función fx=2x2+3x2+13x23:

fx=2x2+3x2+13x23lnfx=ln2x2+3x2+13x23lnfx=ln2x2+3+lnx2+13-lnx23lnfx=12ln2x2+3+13lnx2+1-13lnx2f'xfx=4x22x2+3+2x3x2+1-2x3x2f'x=2x2+3x2+13x234x22x2+3+2x3x2+1-2x3x2

Finalmente, como curiosidad, observa que esta técnica también es válida para obtener la derivada de funciones potenciales con un exponente real. Así:

fx=x2ln=lnlnfx=lnx2lnab=b·lnalnfx=2·lnxD=Df'xfx=0·lnx+2·1xf'x=fx·2xf'x=x2·2xf'x=2x

Y ahora... ¡Ponte a prueba!

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