Cuando estés calculando límites de funciones te será de utilidad conocer las siguientes propiedades:

Todas las propiedades son válidas tanto si estamos calculando el límite de una función en un punto limxafx, como en el infinito limxfx ólimx-fx. Por ello escribimos de manera genérica:

lim fx

operaciones con límites

Operaciones con límites

En este apartado te vamos a detallar las propiedades que te permitirán operar con límites como si fueses un experto doctor (matemático). Más que memorizarlas, deberás entenderlas y razonarlas. ¿Empezamos?

Límite de la suma y resta de funciones

El límite de la suma o diferencia de dos funciones es la suma o resta de los límites de cada función. Así, si lim fx=a y lim gx=b entonces:

lim fx±gx=lim fx±lim gx=a±b

Ten presente que esta operación puede dar lugar a una indeterminación de tipo ∞-∞ (cuando a y b sean valores infinitos) que habría que resolver por otros métodos.

Ejemplos

Sabiendo que limxfx=3 y que limxgx=2, nos queda que:

limxfx+gx=limxfx+limxgx=3+2=5limxfx-gx=limxfx-limxgx=3-2=1

Sabiendo que limx1fx=127 y que limx1gx=5, nos queda que:

limx1fx+gx=limx1fx+limx1gx=127+5=477limx1fx-gx=limx1fx-limx1gx=127-5=-227

Nota:: Aunque el cálculo concreto de límites es propio de otros apartados, las funciones concretas podrían ser:

fx=6x2+52x2+5 ;gx=3x+2fx+gx=6x2+52x2+5+3x+2

Límite del producto de funciones

El límite del producto de dos funciones es el producto de los límites de cada función. Así, si lim fx=a y lim gx=b entonces:

lim fx·gx=lim fx·lim gx=a·b

Ten presente que esta operación puede dar lugar a una indeterminación de tipo 0·∞ que habría que resolver por otros métodos.

Ejemplos

Sabiendo que limxfx=3 y que limxgx=2, nos queda que:

limxfx·gx=limxfx·limxgx=3·2=6

Sabiendo que limx1fx=127 y que limx1gx=5, nos queda que:

limx1fx·gx=limx1fx·limx1gx=127·5=607

Nota: Hemos considerado las mismas funciones que en el ejemplo de la suma y resta de funciones, con lo que:

fx=6x2+52x2+5 ;gx=3x+2fx·gx=6x2+52x2+5·3x+2

Límite del cociente de funciones

El límite del cociente de dos funciones es la división de los límites de cada función. Así, si lim fx=a y lim gx=b, con b≠0, entonces:

lim fxgx=lim fxlim gx=ab

Ten presente que el cociente de funciones puede dar lugar a indeterminaciones de distintos tipos (k/0 , 0/0 ó ∞/∞).

Ejemplos

Sabiendo que limxfx=3 y que limxgx=2, nos queda que:

limxfxgx=limxfxlimxgx=127/5=1235

Sabindo que limx-32fx=3219 y que limx-32gx=0, nos queda que:

limx-32gxfx=limx-32gxlimx-32fx=03219=0

Sin embargo, al estudiar limx-32fxgx, nos quedaría k/0 que es una indeterminación. Esto no significa que el límite de f(x)/g(x) no exista, sólo que no podemos resolverlo a partir de los límites de f(x) y g(x) exclusivamente, sin tener más información.

Nota: En estos ejemplos las funciones concretas son las mismas que las de los ejemplos de los puntos anteriores. Con esa información si estarías en disposición de resolver la indeterminación obtenida, como estudiaremos en el apartado correspondiente.

fx=6x2+52x2+5 ;gx=3x+2fx/gx=6x2+52x2+53x+2

Límite de la función constante

El límite de una constante es la propia constante:

lim k=k

De lo anterior se puede deducir que las constantes pueden "salir" fuera de los límites:

lim k·fx=lim k·lim fx=k·lim fx

Ejemplos

Sea h(x)=5, entonces:

limx5=limx15=limx-325=5

Por otro lado, siendo limxfx=3, nos queda:

limxhx·fx=limx5·fx=5·limxfx=5·3=15

Nota: La función f(x) podría ser la misma usada hasta ahora en todos nuestros ejemplos:

fx=6x2+52x2+5 hx·fx=5·6x2+52x2+5

Límite de la potencia de funciones

El límite de la potencia de dos funciones es el valor de la potencia de los límites de cada función. Así, si lim fx=a y lim gx=b, entonces:

lim fxgx=lim fxlim gx=ab

Ten presente que el límite de la potencia de funciones puede dar lugar a indeterminaciones de distintos tipos (00, 0 ó 1).

Recuerda que la función potencia f(x)g(x) ó g(x)f(x) solo se define para valores positivos de la base.

Ejemplos

Sea limx1fx=127 y limx1gx=5, tenemos que:

limx1fxgx=limx1fxlimx1gx=1275

Por otro lado, sea limxjx=-3, y limxfx=3, tenemos que:

limxfxjx=limxfxlimxjx=3-3=127

Pero no existe limxjxfx porque j(x)<0 para valores grandes de x.

Nota: Las funciones f(x) y g(x) podrían ser las mismas que en los ejemplos anteriores. En cuanto a la función j(x) podría ser:

jx=6x+31-2x

Límite de la composición de funciones

Sea f una función potencial de exponente racional, logarítmica, exponencial o trigonométrica. Sea g(x) una función cuyo límite en el punto considerado (o en el infinito) conocemos lim gx=a. El límite de la función compuesta (f∘g, g compuesta con f) viene dado según:

lim fgx=lim fgx=flim gx=fa

La expresión anterior nos da la clave para el cálculo de límites de raíces, funciones potenciales, logarítmicas y trigonométricas, como vamos a ver. Recuerda que, como siempre, si obtienes alguna indeterminación, deberás resolverla por lo métodos que veremos en el apartado correspondiente.

Potenciales

Sea lim gx=a, entonces:

lim gxq=lim gxq=aq con q

qsignifica que la potencia (q) de la función puede ser un número entero o uno fraccionario. Por otro lado, observa que este caso se puede ver como una particularización del límite de la potencia de funciones, ya estudiado, en el que el exponente es una función constante.

Raíces

Recuerda que una raíz es una potencia de exponente fraccionario anm=anm, con lo que estamos ante una particularización del caso anterior. Así pues, sea lim gx=a, entonces

lim gxm=lim gxm=am

Siempre que m es impar o g(x)≥0 en todo el dominio.

Logaritmos

Sea lim gx=a, b>0 y g(x)>0 en todo el dominio, entonces:

lim logbgx=logblim gx=logba

Recuerda que la función logaritmo logbg(x) solo se define para valores positivos de la base b y del argumento g(x).

A modo de curiosidad, observa que, aplicando las propiedades de los logaritmos podemos reescribir el límite de la potencia de funciones. Así, ya que:

fxgx=egx·lnfx

porque fxgx=ab=elnabelnfxgx=lnab=blnaegx·lnfx, nos queda que el cálculo del límite, asumiendo que lim fx=b y lim gx=a, se puede expresar equivalentemente:

lim fxgx=elim gx·lnfx=ea·lnb

De este modo, las indeterminaciones que se pueden producir en el caso de la potencia equivalen a indeterminaciones de tipo producto:

  • 00 equivale a lim gx=0 ;lim fx=0lim lnfx=-lim gx·lnfx=0·-

  • 0 equivale a lim gx=0 ;lim fx=lim lnfx=lim gx·lnfx=0·

  • 1 equivale a lim gx= ;lim fx=1lim lnfx=0lim gx·lnfx=·0

Seno, coseno y tangente

Sea lim gx=a, entonces:

lim singx=sinlim gx=sinalim cosgx=coslim gx=cosalim tangx=tanlim gx=tana

Ejemplos

Sabiendo que limxgx=2, y que limx1gx=5, tenemos:

limxgx=limxgx=2 siendo fx=xfg=gxlimx1log5gx=log5limxgx=log55=1 siendo fx=log5xfg=log5gxlimxcosgx=coslimxgx=cos2 siendo fx=cosxfg=cosgx

Nota: En todos los ejemplos, la función g(x) podría ser:

gx=3x+2

Y ahora... ¡Ponte a prueba!

Ficha de ejercicios resueltos

Aquí puedes poner a prueba lo que has aprendido en este apartado.

Operaciones con límites

dificultad

Sabiendo que cuando x→2, f(x)→4, g(x)→0 y h(x)→∞, di el valor de los siguientes límites cuando sea posible:

  1. limx2fx+gx
  2. limx2fx-gx
  3. limx2hx+gx
  4. limx2hx-hx
  5. limx2fx·gx
  6. limx2hx·gx
  7. limx2fx/gx
  8. limx2gx/fx
  9. limx2gx-1
  10. limx2fxgx
  11. limx2hxgx
  12. limx23-hx
  13. limx2hx-hx
  14. limx2fx
  15. limx2log4fx

Ficha de fórmulas

Aquí tienes un completo formulario del apartado Operaciones con Límites. Entendiendo cada fórmula serás capaz de resolver cualquier problema que se te plantee en este nivel.

Pulsa sobre el icono   para exportarlas a cualquier programa externo compatible.

Límite de la suma y resta de funciones

lim fx±gx=lim fx±lim gx=a±b

Límite del producto de funciones

lim fx·gx=lim fx·lim gx=a·b

Límite del cociente de funciones

lim fxgx=lim fxlim gx=ab

Límite de la función constante

lim k=klim k·fx=k·lim fx

Límite de la potencia de dos funciones

lim fxgx=lim fxlim gx=ab

Límite de la composición de funciones

lim fgx=lim fgx=flim gx=fa

Ficha de apartados relacionados

El apartado no se encuentra disponible en otros niveles educativos.