Operaciones con Límites

Cuando estés calculando límites de funciones te será de utilidad conocer las siguientes propiedades:

• Límite de la suma y la resta de funciones
• Límite del producto de funciones
• Límite de la división de funciones
• Límite de la función constante
• Límite de la potencia de funciones
• Límite de la composición de funciones
  • Límite de funciones potenciales
  • Límite de raíces
  • Límite de logaritmos
  • Límite de funciones trigonométricas

Operaciones con límites

En este apartado te vamos a detallar las propiedades que te permitirán operar con límites como si fueses un experto doctor (matemático). Más que memorizarlas, deberás entenderlas y razonarlas. ¿Empezamos?

Límite de la suma y resta de funciones

Ten presente que esta operación puede dar lugar a una indeterminación de tipo ∞-∞ (cuando a y b sean valores infinitos) que habría que resolver por otros métodos.

Ejemplos

Sabiendo que $\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=3$ y que $\underset{x\to \infty }{\lim }g\left(x\right)=2$, nos queda que:

$$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)+\underset{x\to \infty }{\lim }g\left(x\right)=3+2=5 \\ \underset{x\to \infty }{\lim }\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)-\underset{x\to \infty }{\lim }g\left(x\right)=3-2=1 \end{gathered}$$

Sabiendo que $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=\frac{12}{7}$ y que $\underset{x\to 1}{\lim }g\left(x\right)=5$, nos queda que:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 1}{\lim }\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)=\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)+\underset{x\to 1}{\lim }g\left(x\right)=\frac{12}{7}+5=\frac{47}{7} \\ \underset{x\to 1}{\lim }\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)=\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)-\underset{x\to 1}{\lim }g\left(x\right)=\frac{12}{7}-5=\frac{-22}{7} \end{gathered}$$

Nota:: Aunque el cálculo concreto de límites es propio de otros apartados, las funciones concretas podrían ser:

$$f\left(x\right)=\frac{6x^2+5}{2x^2+5} ;\hspace{0.17em}g\left(x\right)=\frac{3}{x}+2\Rightarrow f\left(x\right)+g\left(x\right)=\frac{6x^2+5}{2x^2+5}+\frac{3}{x}+2$$

Límite del producto de funciones

Ten presente que esta operación puede dar lugar a una indeterminación de tipo 0·∞ que habría que resolver por otros métodos.

Ejemplos

Sabiendo que $\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=3$ y que $\underset{x\to \infty }{\lim }g\left(x\right)=2$, nos queda que:

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(f\left(x\right)·g\left(x\right)\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)·\underset{x\to \infty }{\lim }g\left(x\right)=3·2=6$$

Sabiendo que $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=\frac{12}{7}$ y que $\underset{x\to 1}{\lim }g\left(x\right)=5$, nos queda que:

$$\underset{x\to 1}{\lim }\left(f\left(x\right)·g\left(x\right)\right)=\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)·\underset{x\to 1}{\lim }g\left(x\right)=\frac{12}{7}·5=\frac{60}{7}$$

Nota: Hemos considerado las mismas funciones que en el ejemplo de la suma y resta de funciones, con lo que:

$$f\left(x\right)=\frac{6x^2+5}{2x^2+5} ;\hspace{0.17em}g\left(x\right)=\frac{3}{x}+2\Rightarrow f\left(x\right)·g\left(x\right)=\frac{6x^2+5}{2x^2+5}·\left(\frac{3}{x}+2\right)$$

Límite del cociente de funciones

Ten presente que el cociente de funciones puede dar lugar a indeterminaciones de distintos tipos (k/0 , 0/0 ó ∞/∞).

Ejemplos

Sabiendo que $\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=3$ y que $\underset{x\to \infty }{\lim }g\left(x\right)=2$, nos queda que:

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right)=\frac{\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)}{\underset{x\to \infty }{\lim }g\left(x\right)}=\frac{12}{7}/5=\frac{12}{35}$$

Sabindo que $\underset{x\to \frac{-3}{2}}{\lim }f\left(x\right)=\frac{32}{19}$ y que $\underset{x\to \frac{-3}{2}}{\lim }g\left(x\right)=0$, nos queda que:

$$\underset{x\to \frac{-3}{2}}{\lim }\left(\frac{g\left(x\right)}{f\left(x\right)}\right)=\frac{\underset{x\to \frac{-3}{2}}{\lim }g\left(x\right)}{\underset{x\to \frac{-3}{2}}{\lim }f\left(x\right)}=\frac{0}{{\displaystyle \frac{32}{19}}}=0$$

Sin embargo, al estudiar $\underset{x\to \frac{-3}{2}}{\lim }\left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right)$, nos quedaría k/0 que es una indeterminación. Esto no significa que el límite de f(x)/g(x) no exista, sólo que no podemos resolverlo a partir de los límites de f(x) y g(x) exclusivamente, sin tener más información.

Nota: En estos ejemplos las funciones concretas son las mismas que las de los ejemplos de los puntos anteriores. Con esa información si estarías en disposición de resolver la indeterminación obtenida, como estudiaremos en el apartado correspondiente.

$$f\left(x\right)=\frac{6x^2+5}{2x^2+5} ;\hspace{0.17em}g\left(x\right)=\frac{3}{x}+2\Rightarrow f\left(x\right)/g\left(x\right)=\frac{\frac{6x^2+5}{2x^2+5}}{\frac{3}{x}+2}$$

Límite de la función constante

De lo anterior se puede deducir que las constantes pueden "salir" fuera de los límites:

$$\lim k·f\left(x\right)=\lim k·\lim f\left(x\right)=k·\lim f\left(x\right)$$

Ejemplos

Sea h(x)=5, entonces:

$$\underset{x\to \infty }{\lim }5=\underset{x\to 1}{\lim }5=\underset{x\to \frac{-3}{2}}{\lim }5=5$$

Por otro lado, siendo $\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=3$, nos queda:

$$\underset{x\to \infty }{\lim }h\left(x\right)·f\left(x\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }5·f\left(x\right)=5·\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=5·3=15$$

Nota: La función f(x) podría ser la misma usada hasta ahora en todos nuestros ejemplos:

$$f\left(x\right)=\frac{6x^2+5}{2x^2+5} \Rightarrow h\left(x\right)·f\left(x\right)=5·\frac{6x^2+5}{2x^2+5}$$

Límite de la potencia de funciones

Ten presente que el límite de la potencia de funciones puede dar lugar a indeterminaciones de distintos tipos (0⁰, ∞⁰ ó 1^∞).

Ejemplos

Sea $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=\frac{12}{7}$ y $\underset{x\to 1}{\lim }g\left(x\right)=5$, tenemos que:

$$\underset{x\to 1}{\lim }\left(f{\left(x\right)}^{g\left(x\right)}\right)=\underset{x\to 1}{\lim }f{\left(x\right)}^{\underset{x\to 1}{\lim }g\left(x\right)}={\left(\frac{12}{7}\right)}^5$$

Por otro lado, sea $\underset{x\to \infty }{\lim }j\left(x\right)=-3$, y $\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=3$, tenemos que:

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(f{\left(x\right)}^{j\left(x\right)}\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }f{\left(x\right)}^{\underset{x\to \infty }{\lim }j\left(x\right)}={\left(3\right)}^{-3}=\frac{1}{27}$$

Pero no existe $\underset{x\to \infty }{\lim }\left(j{\left(x\right)}^{f\left(x\right)}\right)$ porque j(x)<0 para valores grandes de x.

Nota: Las funciones f(x) y g(x) podrían ser las mismas que en los ejemplos anteriores. En cuanto a la función j(x) podría ser:

$$j\left(x\right)=\frac{6x+3}{1-2x}$$

Límite de la composición de funciones

La expresión anterior nos da la clave para el cálculo de límites de raíces, funciones potenciales, logarítmicas y trigonométricas, como vamos a ver. Recuerda que, como siempre, si obtienes alguna indeterminación, deberás resolverla por lo métodos que veremos en el apartado correspondiente.

Potenciales

Sea $\lim g\left(x\right)=a$, entonces:

$$\lim {\left(g\left(x\right)\right)}^q={\left(\lim g\left(x\right)\right)}^q=a^q \text{con} q\in \mathrm{\mathbb{Q}}$$

$q\in \mathrm{\mathbb{Q}}$significa que la potencia (q) de la función puede ser un número entero o uno fraccionario. Por otro lado, observa que este caso se puede ver como una particularización del límite de la potencia de funciones, ya estudiado, en el que el exponente es una función constante.

Raíces

Recuerda que una raíz es una potencia de exponente fraccionario $a^{\frac{n}{m}}=\sqrt[m]{a^n}$, con lo que estamos ante una particularización del caso anterior. Así pues, sea $\lim g\left(x\right)=a$, entonces

$$\lim \sqrt[m]{g\left(x\right)}=\sqrt[m]{\lim g\left(x\right)}=\sqrt[m]{a}$$

Siempre que m es impar o g(x)≥0 en todo el dominio.

Logaritmos

Sea $\lim g\left(x\right)=a$, b>0 y g(x)>0 en todo el dominio, entonces:

$$\lim {\log }_b\left(g\left(x\right)\right)={\log }_b\left(\lim g\left(x\right)\right)={\log }_b\left(a\right)$$

A modo de curiosidad, observa que, aplicando las propiedades de los logaritmos podemos reescribir el límite de la potencia de funciones. Así, ya que:

$$f{\left(x\right)}^{g\left(x\right)}=e^{g\left(x\right)·\ln \left(f\left(x\right)\right)}$$

porque $f{\left(x\right)}^{g\left(x\right)}\underset{a^b=e^{\ln \left(a^b\right)}}{=}{e}^{\ln \left(f{\left(x\right)}^{g\left(x\right)}\right)}\underset{\ln \left(a^b\right)=b\ln \left(a\right)}{=}{e}^{g\left(x\right)·\ln \left(f\left(x\right)\right)}$, nos queda que el cálculo del límite, asumiendo que $\lim f\left(x\right)=b \text{y} \lim g\left(x\right)=a$, se puede expresar equivalentemente:

$$\lim \left[f{\left(x\right)}^{g\left(x\right)}\right]=e^{\lim \left[g\left(x\right)·\ln \left(f\left(x\right)\right)\right]}=e^{a·\ln \left(b\right)}$$

De este modo, las indeterminaciones que se pueden producir en el caso de la potencia equivalen a indeterminaciones de tipo producto:

• 0⁰ equivale a $\lim g\left(x\right)=0 ;\hspace{0.17em}\lim f\left(x\right)=0\underset{\hspace{0.17em}\lim \ln \left(f\left(x\right)\right)=-\infty }{\Rightarrow }\hspace{0.17em}\lim \left[g\left(x\right)·\ln \left(f\left(x\right)\right)\right]=0·\left(-\infty \right)$

• ∞⁰ equivale a $\lim g\left(x\right)=0 ;\hspace{0.17em}\lim f\left(x\right)=\infty \underset{\lim \ln \left(f\left(x\right)\right)=\infty }{\Rightarrow }\hspace{0.17em}\lim \left[g\left(x\right)·\ln \left(f\left(x\right)\right)\right]=0·\infty$

• 1^∞ equivale a $\lim g\left(x\right)=\infty ;\hspace{0.17em}\lim f\left(x\right)=1\underset{\lim \ln \left(f\left(x\right)\right)=0}{\Rightarrow }\hspace{0.17em}\lim \left[g\left(x\right)·\ln \left(f\left(x\right)\right)\right]=\infty ·0$

Seno, coseno y tangente

Sea $\lim g\left(x\right)=a$, entonces:

$$\begin{gathered} \lim \sin \left(g\left(x\right)\right)=\sin \left(\lim g\left(x\right)\right)=\sin \left(a\right) \\ \lim \cos \left(g\left(x\right)\right)=\cos \left(\lim g\left(x\right)\right)=\cos \left(a\right) \\ \lim \tan \left(g\left(x\right)\right)=\tan \left(\lim g\left(x\right)\right)=\tan \left(a\right) \end{gathered}$$

Ejemplos

Sabiendo que $\underset{x\to \infty }{\lim }g\left(x\right)=2$, y que $\underset{x\to 1}{\lim }g\left(x\right)=5$, tenemos:

$$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }\sqrt{g\left(x\right)}=\sqrt{\underset{x\to \infty }{\lim }g\left(x\right)}=\sqrt{2} \text{siendo }f\left(x\right)=\sqrt{x}\Rightarrow f\circ g=\sqrt{g\left(x\right)} \\ \underset{x\to 1}{\lim }{\log }_5\left(g\left(x\right)\right)={\log }_5\left(\underset{x\to \infty }{\lim }g\left(x\right)\right)={\log }_5\left(5\right)=1 \text{siendo }f\left(x\right)={\log }_5\left(x\right)\Rightarrow f\circ g={\log }_5\left(g\left(x\right)\right) \\ \underset{x\to \infty }{\lim }\cos \left(g\left(x\right)\right)=\cos \left(\underset{x\to \infty }{\lim }g\left(x\right)\right)=\cos \left(2\right) \text{siendo }f\left(x\right)=\cos \left(x\right)\Rightarrow f\circ g=\cos \left(g\left(x\right)\right) \end{gathered}$$

Nota: En todos los ejemplos, la función g(x) podría ser:

$$g\left(x\right)=\frac{3}{x}+2$$