Una indeterminación o indeterminada es una operación cuyo resultado no está definido. Es habitual obtener este tipo de expresiones al intentar resolver límites, ya sean en un punto o en el infinito. La obtención de una indeterminación no significa que el límite no exista, sino que habrá que buscar otro camino para obtener su resultado. En este apartado vamos a enseñarte las formas habituales en que puedes enfrentarte a los distintos tipos de indeterminaciones. Lo haremos a través de los siguientes puntos:

¿Tienes la determinación de continuar?

hombre dudando frente a distintas indeterminaciones

Indeterminaciones

¿Qué camino tomar cuando se presenta una operación indeterminada en la resolución de un límite? Esa es la pregunta que queremos que tengas resuelta cuando termines de leer este apartado.

Tipos de indeterminación

Las principales indeterminaciones que te encontrarás resolviendo límites son las siguientes: k/0, 0/0, ∞/∞, ∞-∞, ∞·0, 1, 0, ∞0 y 00.

Cuadro resumen

A continuación tienes el cuadro resumen con las técnicas habituales a aplicar en cada caso. Visita los puntos correspondientes para entender cada uno de ellos, y estudiar los ejemplos asociados.

Indeterminación Método/s propuesto/s
k/0 Límites laterales
0/0
  • Factorizar si se puede
  • Si hay raíces multiplicar y dividir por el conjugado
∞/∞ Comparar grados de los infinitos
∞-∞
  • Comparar grados de infinitos
  • Operar
  • Si hay raíces multiplicar y dividir por el conjugado
0·∞ Operar
1 Buscar limalgo1+1algoalgo=e
0, ∞0, y 00 Aplicar propiedades logaritmo ab=elnab=eb·lna

Resolución de K/0

Ya sabemos que no es posible dividir un número entre cero, al fin y al cabo si tienes algo, y lo quieres dividir entre nada...¿qué operación es esa? Si lo intentas en tu calculadora, te dará error. Sin embargo, recuerda que cuando hablamos de límites el cero no es un valor 'estático', sino un valor al que nos aproximamos. Un número k dividido entre otro muy próximo a cero da un número muy grande, que será positivo o negativo según la relación que haya entre los signos de k y del 0... Un momento... ¿el cero tiene signo? Ya sabes que no, pero sí que existe signo cuando nos aproximamos a cero por la derecha (0+), o por la izquierda (0-). Por todo ello:

Para resolver una indeterminación del tipo k/0 calculamos los límites laterales. Estos serán ∞ o -∞ según la relación entre k y 0. Por otro lado, este tipo de indeterminación marca la existencia de una asíntota vertical.

Ejemplos

1.- Comenzamos por un caso que a buen seguro conoces:

limx01x=10IND

Apliquemos límites laterales:

limx0+1x=limx0+10+=0+=0.00001limx0-1x=limx0-10-=0+=-0.00001-

Observa, por un lado, que para determinar el valor de 1/0+ o 1/0- puedes ayudarte de la calculadora, sustituyendo el 0+ o el 0- por un valor a la derecha (sensiblemente mayor) o a la izquierda (sensiblemente menor) del 0. Por otro lado, como los límites laterales son distintos, estrictamente hablando no existe el límite de la función cuando x tiende a 0:

limx0+1xlimx0-1xlimx01x

2.- Siguiendo un procedimiento similar:

limx32x-32=20 IND

Ahora, aplicando límites laterales:

limx3-2x-32=23--32=3-2.999...20-2=0--0.000...120+=0+0.000...1limx3+2x-32=23+-32=3+3.000...120+2=0+0.000...120+=

Con lo que esta vez podemos decir que:

limx3-2x-32=limx3+2x-32=limx32x-32=

3.- Vamos con nuestro tercer ejemplo

limx21-xx-24=-10 IND

Resolvemos como hasta ahora:

limx2-1-xx-24=-10+=-limx2+1-xx-24=-10+=-

Con lo que esta vez el límite que buscábamos vale menos infinito:

limx2-1-xx-24=limx2+1-xx-24=- limx21-xx-24=-

Recuerda que, por convención, aunque los límites laterales sean distintos, se suele decir que k/0=∞, indicando así que la función diverge en el punto.

Resolución de 0/0

Si preguntas a Siri, el famoso asistente de los iPhone, cuánto es 0/0 te dará una respuesta que parece muy loca: 

"Imagínate que tiene cero galletas y las repartes entre cero amigos. ¿Cuántas galletas le tocan a cada amigo? No tiene sentido. ¿Lo ves? Así que el monstruo de las galletas está triste porque no tiene galletas y tú estás triste porque no tienes amigos."

Lo que trata de decirte es, simplemente, que estás proponiéndole una indeterminada. Por otro lado, ya Newton en el S.XVII, antes de que se formalizara el estudio de los límites como lo conocemos hoy día, escribió en relación al 0/0:

"Hay que entender la razón de las cantidades, no antes de que desaparezcan ni después, sino la razón con la que desaparecen."

En cualquier caso, desde un punto de vista práctico, el 0/0 indica la presencia de un factor común, tanto en numerador como denominador, con lo que:

Para resolver la indeterminación de tipo 0/0:

  • Si estamos ante un cociente de polinomios, factorizamos y simplificamos el factor común de numerador y denominador y resolvemos el nuevo límite
  • Si estamos ante un cociente con raíces, ya sea en el numerador, en el denominador, o en ambos, multiplicamos numerador y denominador por el/los conjugados  y resolvemos. Es muy importante que recuerdes que "suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados"

Ejemplos

1.- Comenzamos nuestros ejemplos con el caso:

limx2x2-4x-2=00 IND

Como se trata de dos polinomios, podemos factorizarlos para simplificar el factor común. Un posible método para hacerlo es percatarte que en el numerador tienes una diferencia de cuadrados: x2-4 = x2-22, y recordar que suma por diferencia es igual, precisamente, a diferencia de cuadrados, con lo que:

limx2x2-4x-2=limx2x+2·x-2x-2=4

2.- En este caso la resolución de una indeterminación nos lleva a otra. Observa:

limx1x-1x2-2x+1=00 IND

Factorizando nos queda:

x2-2x+1=0x=2±-22-4·1·12=1x2-2x+1=x-12limx1x-1x2-2x+1=limx1x-1x-12=limx11x-1=10IND

Con lo que debemos volver a resolver una indeterminación, esta vez del tipo k/0, resolviendo los límites laterales:

limx1-x-1x2-2x+1=limx1-1x-1=10-=-limx1+x-1x2-2x+1=limx1+1x-1=10+=

Como los límites laterales son distintos, no existe el límite:

limx1-x-1x2-2x+1limx1+x-1x2-2x+1limx1x-1x2-2x+1

3.- Si en los dos ejemplos anteriores nos encontrábamos con polinomios tanto en el numerador como en el denominador, en este nos encontramos con que en el numerador aparece una raíz:

limx3x+6-3x-3=00 IND

Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del numerador, y operamos:

limx3x+6-3x-3=limx3x+6-3·x+6+3x-3·x+6+3=a+b·a-b=a2-b2limx3x+62-9x-3·x+6-3=limx3x-3x-3·x+6+3=16

En aquellas funciones que presentan cocientes de radicales puede que te resulte de utilidad reducirlas a índice común antes de resolverlas. Esto es:

P(x)aQ(x)b=P(x)bQ(x)am.c.ma,b

Siendo m.c.m(a,b) el mínimo común múltiplo de a y b.

Resolución de ∞/∞

Ya sabemos que no todos las funciones que se acercan al infinito (o al menos infinito) lo hacen a igual velocidad. Dicho de otra manera, no todos los infinitos tienen igual grado. Es precisamente por eso que:

Para resolver una indeterminación del tipo ∞/∞ comparamos los grados de los infinitos del numerador y del denominador:

  • Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, el límite es infinito o menos infinito, según la relación de signos entre los términos de mayor grado del numerador y del denominador
  • Si el grado del denominador es mayor que el grado del denominador, el límite es cero
  • Si el grado del numerador es igual al grado del denominador, el resultado es un valor finito que depende de los términos de mayor grado del numerador y del denominador

Justificación

Para justificar el procedimiento anterior vamos a proceder de la siguiente manera:

  • Cuando en el numerador y en el denominador hay dos polinomios dividiremos ambos por x elevado a la potencia mayor del polinomio de menor grado. Así, observa:

    limxx3+2x3x2+x-5=IND

    Por comparación de infinitos, el resultado debería ser infinito (el polinomio del numerador es de grado 3 y el del denominador de grado 2). Veamos qué ocurre si dividimos numerador y denominador entre x elevado a la mayor potencia del polinomio de menor grado (esto es, entre x2):

    limxx3+2x3x2+x-5=limxx3+2xx23x2+x-5x2=limxx3x2+2xx23x2x2+xx2-5x2=limxx+2x3+1x-5x2==+23+1-52=

  • Cuando en el numerador y en el denominador tenemos exponenciales, dividimos por la exponencial de mayor base:

    limx4x+3x+22x-2+5x=IND

    En este caso, por comparación de infinitos el resultado debería ser 0, ya que el infinito del denominador es de mayor grado (la base mayor del denominador es 5 frente a 4 del numerador). Si dividimos numerador y denominador por la exponencial de mayor base, obtenemos el mismo resultado:

    limx4x+3x+22x-2+5x=limx4x5x+9·3x5x2x4·5x+5x5x=limx45x+9·35x1425x+1=45+9·351425+1=01=0

Recuerda que, si en lugar de x→∞, tenemos que x→-∞ debes comenzar, con un paso previo, realizando un cambio de variable x por -x, y operando. Se trata, en definitiva, de aplicar:

limx-fx=limxf-x

Como ves, esto te permitirá también cambiar por -∞ por ∞ y continuar con el cálculo del límite normalmente.

Ejemplos

1.- limxx4+2-3x3+2=- INDlimxx4+2-3x3+2=Grado num.>Grado den.-2.- limxlnx+52x= INDlimxlnx+52x=Grado den.>Grado num.03.- limx4x3+3x22x3+1= INDlimx4x3+3x22x3+1=Grado den.=Grado num.42=2

Cuando aprendamos a resolver derivadas te explicaremos una forma adicional de resolver las indeterminaciones de tipo ∞/∞ y 0/0: la regla de L'Hôpital.

Resolución de ∞-∞

Por la misma razón que no podemos decir que ∞/∞ sea 1, tampoco podemos decir que ∞-∞ sea 0: Cada función que da origen a dicho infinito puede acercarse a él a distinta velocidad (es decir, cada infinito puede tener un grado distinto). Podemos decir que:

Para resolver una indeterminación del tipo ∞-∞ podemos proceder de las siguientes formas:

  • Por comparación de infinitos, cuando podemos apreciar a simple vista el grado de los infinitos
  • Operando la diferencia que origina la indeterminación y calculando después el límite que quede
  • Cuando hay raíces se debe multiplicar y dividir por el conjugado para hacer desaparecer la raíz que dificulta el cálculo del límite

Ejemplos

1.- Empezamos por un ejemplo que se pude resolver a simple vista por comparación de infinitos:

limx3x105-2x+2=- IND limx3x105-2x+2=-

Ya que el grado del infinito de la exponencial es mayor que el del polinomio.

2.- En nuestro segundo ejemplo debemos operar para poder resolver la indeterminación:

limxx2x+2-x=- IND limxx2x+2-x=limxx2-x·x+2x+2=limx-2xx+2=-INDlimxx2x+2=limx-2xx+2=grado num. = grado den.2

3.- Para el tercer ejemplo, al haber raíces, multiplicamos y dividimos por el conjugado:

limxx2+x-2x=-INDlimxx2+x-2x=limxx2+x-2x·x2+x+2xx2+x+2x=limxx2+2x-4x2x2+x+2x=limx2x-3x2x2+x+2x=Por comparación de infinitos-

Observa que, en el último paso, para resolverlo de manera más analítica, podemos dividir numerador y denominador entre x:

limx2x-3x2x2+x+2x=limx2xx-3x2xx2+x+2xx=limx2-3xx2x2+xx2+2xx=limx2-3x3=-

4.- Finalmente, observa que no necesariamente la indeterminación de tipo ∞-∞ se da cuando x→∞. Como todas las indeterminaciones, también puede darse calculando el límite de la función en un punto:

limx2x2-2x·x-2-1x-2=- IND

Observa que hemos dicho que ambos cocientes tienden a infinito cuando x se aproxima a 2, lo cual da origen a la indeterminación ∞-∞. Estrictamente hablando, se trata de dos indeterminaciones k/0 que habría que resolver buscando los límites laterales, pero a nivel práctico podemos decir que ambas son infinito y operar ambos cocientes:

limx2x2-2x·x-2-1x-2=limx2x2-2-xx·x-2=x2-2-x=x-2·x+1limx2x-2·x+1x·x-2=32

Resolución de ∞·0

Cuando multiplicas un número por 0, el resultado es cero. Pero ya sabemos que ni el infinito es un número ni el 0 en los límites es un valor 'estático', sino un valor al que nos aproximamos... Podemos decir:

Para resolver una indeterminación del tipo 0·∞ trataremos de operar convirtiéndola en otra de tipo 0/0 o ∞/∞.

Ejemplo

limxx·13x2+1=·0 INDlimxx·13x2+1=limxx23x2+1= INDlimxx·13x2+1=limxx23x2+1=Grado num. = grado den.13

Resolución de 1

Sabemos que 1 elevado a cualquier número n, es decir, multiplicado por sí mismo n veces, da 1. Sin embargo, cuando nos aproximamos a 1 y elevamos a infinito a la vez (recuerda que estamos calculando límites), no podemos estar seguros de lo que ocurre. Es por eso que estamos, de nuevo, ante una indeterminación.

Normalmente la regla práctica para resolver las indeterminaciones de tipo 1 es:

lim fxgx=elim fx-1·gx

Siendo lim f(x) bien limxfx o limxafx.

Justificación

No te recomendamos que la aprendas de memoria, sino más bien llegar a ella razonadamente. Para ello debes tener presente el siguiente límite:

limx1+1xx=e

Dicho de otra manera, si a 1 sumamos 1 partido algo que se acerca a infinito y lo elevamos a ese mismo algo que se acerca a infinito, el resultado se acerca al número e.

Así, cuando tenemos una expresión de tipo f(x)g(x) podemos hacer transformaciones en la siguiente forma:

limxfxgx=fx=fx+1-1limx1+fx-1gx=fx-1=11fx-1limx1+11fx-1gx==gx=gx·1fx-1·fx-1limx1+11fx-11fx-1·fx-1·gx

Observa que ya hemos conseguido el número e, pues tenemos 1 al que hemos sumado 1 partido algo que se acerca a infinito y lo elevamos a ese mismo algo que se acerca a infinito, con lo que:

limx1+11fx-11fx-1·fx-1·gx=limxefx-1·gx=elimxfx-1·gx

Aunque este desarrollo lo hemos hecho teniendo en cuenta que x→∞, también es válido cuando x se acerca algún valor concreto.

Ejemplos

Como ejemplo concreto te proponemos un caso en el que, a pesar de tender la x a un valor concreto, verás de manera justificada que podemos usar la igualdad limx1+1xx=e:

limx3x2+2x-9x+31x-3=1 IND

Empezamos a buscar (1+1/algo)algo:

limx31+x2+2x-9x+3-11x-3=limx31+x2+x-12x+31x-3=limx31+1x+3x2+x-12x+3x2+x-12·x2+x-12x+3·1x-3

Observa ahora que, cuando x tiende a 3, x+3x2+x-12 tiende a infinito, con lo que la parte en negrita es, justamente el número e:

limx31+1x+3x2+x-12x+3x2+x-12·x2+x-12x+3·1x-3=elimx3x2+x-12x+3·1x-3=elimx3x-3·x+4x+3·1x-3=e76

Resolución de 0, 0 y 00

De nuevo, por la misma razón que hasta ahora, nos encontramos ante dos indeterminaciones. La forma de proceder:

Para resolver indeterminaciones del tipo 0, ∞0 y 00, todas ellas provenientes de una función elevada a otra, transformaremos el límite utilizando las propiedades de los logaritmos. Así, si lim fx=b y lim gx=a, nos quedará:

lim fxgx=elim gx·lnfx=ea·lnb

Siendo lim f(x) bien limxfx o limxafx.

Justificación

Para justificar la expresión anterior, recuerda que la función exponencial y la logarítmica son inversas. Esto quiere decir, de manera simple, que si las aplicamos de manera consecutiva, el resultado obtenido es el original. Por ello:

fxgx=ab=elnabelnfxgx=lnab=blnaegx·lnfx

Ejemplos

1.-

limx0+x1x=0 INDlimx0+x1x=limx0+elnx1x=elimx0+lnx1x=elimx0+1xlnx=e·-=e-=1e=0

2.-

limxx1x=0 INDlimxx1x=limxelnx1x=elimxlnx1x=elimx1xlnx=elimxlnxx=eINDlimxx1x=elimxlnxx=e0=1grado num < grado den.

3.-

limx1x1x=00 INDlimx1x1x=elimxln1x1x=elimx1xln1x=e0·- INDlimx1x1x=elimx1xln1x=elimxln1xx=lnab=lna-lnbelimxln1-lnxx=elimx-lnxx=Grado den. > Grado num.e0=1

Y ahora... ¡Ponte a prueba!

Ficha de ejercicios resueltos

Aquí puedes poner a prueba lo que has aprendido en este apartado.

Límites de cocientes

dificultad

Resuelve los siguientes límites. Cuando sea necesario, resuelve las indeterminaciones que obtengas:

  1. limx2x3+4x+3-5x3-xx-3
  2. limx-x5+43x4+2-x3
  3. limx-3x3+x2-9x-92x2+2x-12
  4. limx1-x3+x8x2+x-24
  5. limx0x2-5x+3x2+3x-x3+2x+4x3+4x
  6. limx3x10x5-2
  7. limx2x+2-2x+7-3
  8. limx04+x-4-x2x
  9. limx2x3-x2·2x+5x23x+2
  10. limx4x2+29x
  11. limx4x-2x-2x

Límites con el número e

dificultad

Calcula, cuando sea posible, los siguientes límites:

  1. limx1+13xx
  2. limx1-13x2x
  3. limx3x2+x-13x2-22x+1
  4. limx7x2-7x+2x-5x+2x-7
  5. limx23+x2-x3x2+2x2+x21+x
  6. limx1-x+11-x2-x
  7. limxπ/21+cosx3·secx
  8. limx-x4+x3-x2+3x3-x3+xx2x2-3x

Buscar parámetro función dado el valor del límite

dificultad

Determina el valor de k para que el valor de los límites correspondientes sea el indicado:

  1. limx2kx4-3kx2+kx-5x2-4x4=1
  2. limx2x2-kx-3+2x2=2
  3. limx2x2+kx+22x2-x5x2-1x=1e4

Resolución de límites

dificultad

Calcula, cuando sea posible, los siguientes límites. En caso de obtener alguna indeterminación, resuélvela por el método que consideres oportuno:

  1. limxx2+6x-x
  2. limxx5x
  3. limx-x-2x+3x2-6x+x
  4. limx0x3-x-5x2+3x-5
  5. limx3e1x3-1
  6. limx0x3-x-5x2+3x-5+x2+x2x2+2x
  7. limx-5x3-1

Ficha de fórmulas

Aquí tienes un completo formulario del apartado Indeterminaciones. Entendiendo cada fórmula serás capaz de resolver cualquier problema que se te plantee en este nivel.

Pulsa sobre el icono   para exportarlas a cualquier programa externo compatible.

Número e como límite de una función

limfx1+1fxfx

Ficha de apartados relacionados

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