El límite de la función f(x) cuando x tiende a a es el valor al que se aproxima la función cuando la x se aproxima a a

Concepto de límite de una función en un punto

Concepto de límite de una función en un punto

A la izquierda, notación utilizada para referirnos al límite de una función en un punto cuando la x se aproxima a a. A la derecha, el concepto. A medida que tomamos valores próximos a a, tanto por la izquierda como por la derecha, los correspondientes valores de f(x) se aproximan a L.

Por otro lado observa que, en este ejemplo, la función no está definida en x=a (∄f(a)), y sin embargo sí el límite, lo que pone de manifiesto que son conceptos distintos.

En este apartado vamos a estudiar como calcular dicho límite. Además, te daremos ejemplos concretos de aplicación. Estudiaremos los siguientes subapartados:

Si estás interesado en saber como calcular los límites de una función en infinito o menos infinito, en lugar de en un punto concreto, visita este apartado. Finalmente, una última recomendación antes de empezar: familiarízate con el concepto de infinito y sus operaciones.

Método general

De manera general, podemos decir que el primer paso para la resolución de un límite es sustituir en f(x) el valor hacia el que tiende x. Entonces puedo obtener:

  • Un valor concreto
  • Una expresión cuyo resultado no se puede conocer. A este tipo de expresiones se les denomina indeterminaciónes o indeterminadas. Por ejemplo, son indeterminaciones 0/0, ∞-∞, y otras muchas que estudiaremos en el apartado correspondiente

Si obtienes un valor concreto, ¡ya está!. Ese es el valor del límite de la función cuando x se aproxima a a. Pero tranquilo, si obtienes una indeterminación, no quiere decir que el límite no exista... solo que debemos resolverla, esto es, encontrar otro camino que haga desaparecer la indeterminación y nos dé el resultado del límite. Cada tipo de indeterminación tiene una manera concreta de resolverse, que estudiaremos en el apartado dedicado a ello.

De momento vamos a estudiar algunos casos sencillos para los que podemos prescindir de la resolución de indeterminaciones.

Sólo tiene sentido que estudiemos el límite en puntos a los que podamos acercarnos cada vez más, esto es, puntos que pertenezcan al dominio de la función, o muy próximos a estos. Por ejemplo, podemos intentar el cálculo del límite limx01x, porque los puntos del entorno de 0 sí están en el dominio, pero no tiene sentido que calculemos el límite limx-3x.

Funciones continuas

En los puntos en los que las funciones son continuas, el valor del límite coincide con el de la propia función. Aunque aún no hemos estudiado nada sobre la continuidad de las funciones, aprovechamos para adelantarte las siguientes ideas:

  • de manera intuitiva sabemos decir si una función es continua en un punto cuando podemos dibujarla 'sin levantar el lápiz del papel en los alrededores de ese punto', y...
  • ...decimos que una función es continua (a secas) cuando lo es en todo su dominio, es decir, cuando toda ella puede dibujarse 'sin levantar el lápiz del papel'

La mayoría de las funciones estudiadas son continuas en todos los puntos de su dominio, esto es, los puntos en los que estás definidas, con lo que podemos decir:

Si f(x) es una función habitual definida por una sola expresión analítica y que está definida en x=a, entonces el valor del límite de la función cuando x tiende a a es f(a):

limxafx=fa

Se trata del caso más habitual que estudiaremos, y también el más sencillo. Veamos algunos ejemplos. En ellos, todo lo que tienes que hacer es evaluar la función en el punto. ¿Demasiado sencillo?

Funciones polinómicas

limx0x+1=f0=0+1=1limx2x2+15=f2=4+15=215limx-1x32-2x=f-1=-132-2-1=-12+2=32limx-2x+14=f-2=-2+14=-14=1

Funciones con radicales

limx0x=f0=0=0limx-1-x+8=9=3limx3x+1-x2=4-32=-12limx-93x3+3=-3+3=0

Funciones exponenciales

limx02x=f0=20=1limx1ex+12x=e1+121=2e+12limx-13x2+2x3=3-12+2-13=3-13=19limx0x+4+5x=0+4+50=2+1=3

Funciones logarítmicas

limx1log2x+1=f1=log22=1limx0.1log10x=log0.1=log110=logab=loga-logblog1-log10=0-1=-1limxe-1e1-e+x+lnx+1=e1-e+e-1+lne=1+1=2limx3logx+3+x3=log3+3+33=log6+1

Funciones seno y coseno

En el caso de las funciones trigonométricas, se asume, a no ser que se diga lo contrario, que el valor de x está en radianes. Así, tendríamos:

limx0cosx=f0=cos0=1limxπ2sinx+π=sinπ2+π=sin3π2=-1

Funciones racionales

Cuando tenemos el cociente de dos polinomios fx=PxQx y queremos calcular limxafx, comenzamos sustituyendo el valor de a en f(x). Entonces podemos distinguir los siguientes casos:

  • El denominador no se anula

    Qa0limxaPxQx=PaQa

    La función es continua en a, y por tanto el límite coincidirá con el valor de la función en el punto, como hemos visto hasta ahora.

    Ejemplos

    limx03x+1=30+1=3limx-15x2-1x+2=5-12-1-1+2=41=4limx2x-2x+2=2-22+2=04=0

  • El denominador se anula

    Al sustituir obtenemos una expresión en la forma k/0 o 0/0 según se anule sólo el denominador o el numerador y el denominador respectivamente. Sabemos que no se puede dividir un número entre 0, tampoco el propio 0. Se trata de 2 tipos de indeterminaciones distintas, cada uno con su propio método de resolución.

    1. Qa=0 y Pa=k0limxaPxQx=±

      Tenemos que, a medida que x se acerca a a, P(x) se acerca a un valor concreto (k) y Q(x) se aproxima a 0.

      Observa que, aunque no podemos dividir un numero entre 0, sí que podemos dividirlo entre un número próximo a 0. Por ejemplo:

      • Dividiendo un número positivo entre un número un poquito mayor que cero nos queda un número muy alto: 30.0001=30000
      • Dividiendo un número positivo entre un número un poquito menor que cero nos queda un número muy pequeño: 3-0.0001=-30000
      • Dividiendo un número negativo entre un número un poquito mayor que cero nos queda un número muy pequeño: -30.0001=-30000
      • Dividiendo un número negativo entre un número un poquito menor que cero nos queda un número muy alto: -3-0.0001=30000

      En definitiva, para saber lo que ocurra con la función en las proximidades del valor x=a, en el que se anula el denominador pero no el numerador habrá, que estudiar los límites laterales.

      Para calcular el límite del cociente de dos polinomios en un punto en el que se anula el denominador pero no el numerador, se calculan los límites laterales limxa-fx y limxa+fx. Estos pueden ser ∞ o -∞.

      • Si ambos límites laterales coinciden, decimos que limxafx existe y vale ∞ o -∞ según sea el valor de los límites laterales
      • Si ambos límites laterales no coinciden, decimos que limxafx

      Ejemplos

      1.-

      limx1x+1x-1=20No está determinado

      Debemos calcular los límites laterales. Empezamos por el izquierdo:

      limx1-x+1x-1=1-+11--1=20-=-

      La forma de razonar en este ejemplo es como sigue: 1- significa "un número un poquito más pequeño que 1", por ejemplo 0.99999. Si a un número un poco más pequeño que 1 le quitamos 1, nos queda un número un poco más pequeño que cero, esto es, 0- que podría ser, por ejemplo -0.00001. Al dividir 2 entre un número un poquito más pequeño que 2, como hemos visto anteriormente, nos queda un número muy grande, que "en límites" significa +∞. Observa que realmente en el numerador tendríamos un número "un poquito más pequeño que dos", pero, dado que el numerador no se anula, es indiferente pues no cambia el signo del cociente.

      Ahora, razonando de manera análoga, el límite lateral derecho nos queda:

      limx1+x+1x-1=1++11+-1=20+=+

      Con lo que podemos escribir:

      limx1-x+1x-1limx1+x+1x-1limx1x+1x-1

      Límites laterales no coincidentes

      Función racional. Límites laterales no coincidentes

      Representación de la función de nuestro ejemplo. A la izquierda del punto que anula el denominador la función se va a -∞ (fondo en verde claro) y a la derecha a +∞ (fondo en verde oscuro).

      2.-

      limx1x+1x-12=20No está determinado

      De nuevo, debemos calcular los límites laterales. Empezamos por el izquierdo:

      limx1-x+1x-12=1-+11--12=20-2=20+=

      La forma de razonar en este ejemplo es análoga a la anterior, pero debes tener en cuenta que 0-2=0+. Calculando el límite lateral derecho:

      limx1+x+1x-12=1++11+-12=20+2=20+=

      Con lo que podemos escribir...

      limx1-x+1x-12=limx1+x+1x-12=limx1x+1x-12=

      Límites laterales coincidentes

      Función racional. Límites laterales coincidentes

      Representación de la función de nuestro ejemplo. Tanto a la izquierda (con fondo en verde claro) como a la derecha (con fondo en verde oscuro) del punto que anula el denominador la función se va a ∞, con lo que ese es el valor de la función cuando x tiene a 1.

      En ocasiones, y por convención, cuando estamos ante una indeterminación del tipo k/0 decimos que es ∞ independientemente del valor de los límites laterales. Aunque estrictamente hablando no es precisa dicha afirmación, significa que la función diverge en el punto (se aleja del eje x), sin importar hacia qué sentido lo hace a cada lado del punto.

    2. Qa=0 y Pa=0limxaPxQx=limxax-a·Psxx-a·Qsx=limxaPsxQsx

      Tenemos que tanto el numerador como el denominador se anulan en x=a, esto es, x=a es una raíz de ambos polinomios, con lo que se puede factorizar tanto numerador como denominador, quedando así una función racional simplificada.

      Recuerda que decimos que x=ri es una raíz del polinomio P(x) cuando P(ri)=0.

      Por tanto...

      Para calcular el límite del cociente de dos polinomios en un punto en el que se anulan el numerador y el denominador, se simplifica el cociente sacando como factor (x-a). Una vez hecho esto se calcula el límite de la función simplificada:

      Qa=Pa=0Px=x-a·PsxQx=x-a·QsxlimxaPxQx=limxax-a·Psxx-a·QsxlimxaPxQx=limxaPsxQsx.

      Donde Ps(x) y Qs(x) son los polinomios resultados de dividir P(x) y Q(x) respectivamente entre (x-a).

      Ejemplo

      limx2x2+x-6x2-x-2=00No está determinado

      Debemos factorizar numerador y denominador. Tenemos dos opciones, o bien dividimos P(x) y Q(x) entre (x-2), que sabemos que es factor, o bien factorizamos buscando todas las raíces. Como son polinomios de segundo grado y la factorización es sencilla, aplicamos:

      x2+x-6=0x=-1±12-4·1·-62·1=-1±52=x1=2x2=-3x2-x-2=0x=1±-12-4·1·-22·1=1±32=x1=2x2=-1

      Quedando el límite:

      limx2x2+x-6x2-x-2=limx2x-2·x+3x-2·x+1=limx2x+3x+2=54

      Ejemplo de límite de función racional 0/0

      Límite función racional: Caso 0/0

      En la figura tenemos la representación de la función de nuestro ejemplo. Observa como la función no está definida para x=2, como se pone de manifiesto por el círculo blanco, pero el límite sí, y su valor es precisamente 5/4. Observa que existe otro punto en el que la función tampoco está definida, que corresponde con la otra raíz del polinomio del denominador (x=-1). Si calculásemos limx-1fx tendríamos que recurrir a los límites laterales, como en los casos anteriores.

      Cuando realices operaciones sobre f(x), como por ejemplo la factorización, debes conservar la expresión limxa a la izquierda de la misma hasta que sustituyas la x por el valor de a. De lo contrario estarías diciendo que el límite de la función es igual a la función, cosa que no tiene sentido.

Funciones a trozos

Mención especial merecen las funciones a trozos. Partimos de una función con dos ramas, aunque el procedimiento es fácilmente generalizable.

fx=f1xsixbf2xsix>b

Primeramente tenemos que identificar si nos piden el límite en un valor de x de cambio de rama o no. En la expresión anterior, el cambio de rama se produce en x=b.

limxbfx

En este caso, la función se comporta de manera diferente si nos aproximamos a b por la izquierda (lo haría con la expresión de f1), o por la derecha (lo haría con la expresión de f2). El cálculo por tanto se reduce al cálculo de los limites laterales, ya que, como recordarás, estos deben coincidir.

limxb-fx=limxb-f1x=Lilimxb+fx=limxb+f2x=LdSi Li=Ldlimxbfx=Li=Ld=LSi LiLdlimxbfx

Ejemplo

1.-

limx1fx;Con fx=x2six1xsix>1

Como x=1 es un punto de cambio de rama, hay que calcular los límites laterales:

limx1-fx=limx1-x2=1limx1+fx=limx1+x=1

Vemos que los límites laterales tienen igual valor, con lo que podemos escribir:

limx1-fx=limx1+fx=1limx1fx=1

Ejemplo de límite de una función a trozos en cambio de rama

Límite de una función a trozos en cambio de rama

Los límites laterales de la función de nuestro primer ejemplo tienen igual valor (1), con lo que el límite existe y su valor es igual a estos. Observa que hemos utilizado una vez más el verde claro para resaltar el lado de la función que correspondería al límite lateral izquierda, y el verde oscuro para resaltar el lado que correspondería al límite lateral derecho.

2.-

limx1fx ;Con fx=-1six<1xsix1

Volvemos a tener que calcular el límite en un cambio de ramas, con lo que vamos a los límites laterales:

limx1-fx=limx1-x2=1limx1+fx=limx1+-1=-1

Dado que no coinciden los límites laterales, el límite no existe:

limx1-fxlimx1+fxlimx1fx

Por otro lado, observa comparando con el ejemplo anterior, que la posición del igual en el cambio de rama (signos ≤, ≥)es indiferente para el cálculo del límite.

Ejemplo de límite de una función a trozos en cambio de rama

No existencia del límite de una función a trozos en cambio de rama

Cuando los límites laterales de la función en el punto de cambio de rama son distintos, como en este segundo ejemplo, no existe el límite.

limxafx con ab

En este caso, el punto no es de cambio de rama, y tenemos que fijarnos en cuál debemos escoger (f1 o f2) según dónde esté a.

Si a<b limxafx=limxaf1x=LSi a>b limxafx=limxaf2x=L

Ejemplo

limx2fx ;Con fx=-1six<1xsix1

Se trata de la función del ejemplo anterior, pero en este caso el límite es en un punto en que no se produce cambio de rama. En él, la función es continua, con lo que simplemente sustituimos:

limx2fxlimx2x=2

Propiedades del cálculo de límites

Cuando estés operando con límites te será de gran utilidad conocer la siguiente tabla de propiedades. Sean limxpfx=a y limxpgx=b. Entonces tenemos:

Suma y resta limxpfx±gx=limxpfx±limxpgx=a±b
Producto limxpfx·gx=limxpfx·limxpgx=a·b
Cociente limxpfxgx=limxpfxlimxpgx=ab con b0
Constante limxpk=k
Potencias de funciones limxpfxgx=limxpfxlimxpgx=ab
Funciones compuestas limxpfgx=limxpfgx=flimxpgx=fa

Visita el apartado enlazado para estudiar estas ideas y ver ejemplos con más detenimiento.

Y ahora... ¡Ponte a prueba!

Ficha de ejercicios resueltos

Aquí puedes poner a prueba lo que has aprendido en este apartado.

Límites sencillos en un punto

dificultad

Resuelve los siguientes límites directos:

  1. limx2(x+3)
  2. limx05x22
  3. El límite de la función fx=3xx2+x+2 en x=1
  4. limx-2x+1
  5. limtπ3cost+2
  6. limx10-3log10·x

Límites de funciones racionales en un punto

dificultad

Resuelve, cuando sea posible, los límites de las funciones racionales siguientes, e interpreta el resultado graficamente:

  1. limx3x2+xx+3
  2. limx3x3-27x+3
  3. limx-15x+-xx3+1
  4. limx1x2-1x-12
  5. limx1x2-3x-12
  6. limx22x2-10x+12x2+3x-10
  7. El límite de la función fx=x3x2-4 en -2, 0 y 2

Límites de funciones a trozos

dificultad

Calcula los límites de las siguientes funciones a trozos y en valor absoluto

  1. fx=x+2six<3-2x+5six3en x=3, x=0 y x=5
  2. fx=x+2six<33six=3x2-4six>3en x=0, x=3 y x=5
  3. fx=2x2-10x+1x2+3x-10six>2-3x+5six<2en x=2
  4. fx=x2six12six=1en x=1, x=3 y x=0
  5. fx=-2+2xsi-1x2-x2si-1<x12x-1six2en x=-1 y x=1
  6. fx=x2-2x en x=0 y x=2
  7. fx=xx en x=0
  8. fx=1-1+x en x=0 y x=-1

Ficha de fórmulas

Aquí tienes un completo formulario del apartado Cálculo del Límite de una Función en un Punto. Entendiendo cada fórmula serás capaz de resolver cualquier problema que se te plantee en este nivel.

Pulsa sobre el icono   para exportarlas a cualquier programa externo compatible.

Condición necesaria y suficiente de existencia del límite

 limxa-fx=limxa+fx=Llimxafx=L

Valor del límite de una función continua en un punto

limxafx=fa

Límite de P(x)/Q(x) en un punto en que se anula sólo Q(x)

Qa=0 y Pa=k0limxaPxQx=±

Límite de P(x)/Q(x) en un punto en que se anulan P(X) y Q(x)

Qa=Pa=0Px=x-a·PsxQx=x-a·QsxlimxaPxQx=limxaPsxQsx

Límite de la suma y resta de funciones

lim fx±gx=lim fx±lim gx=a±b

Límite del producto de funciones

lim fx·gx=lim fx·lim gx=a·b

Límite del cociente de funciones

lim fxgx=lim fxlim gx=ab

Límite de la función constante

lim k=klim k·fx=k·lim fx

Límite de la potencia de dos funciones

lim fxgx=lim fxlim gx=ab

Límite de la composición de funciones

lim fgx=lim fgx=flim gx=fa

Ficha de apartados relacionados

El apartado no se encuentra disponible en otros niveles educativos.