Como determinar si dos rectas son paralelas

Dos rectas, r y s, se dice que son paralelas (rs) si sus vectores directores vr y vs son proporcionales o sus pendientes mr y ms son iguales

Dos semirrectas con origen común crean dos ángulos.

Rectas Paralelas

En la figura se muestran dos rectas r y s:

r  x - y - 1=0s  x,y = 3,0 + λ·1,1

Ambas son paralelas ya que se cumple que:

mr=ms -AB=vs2vs1-1-1=11 1=1

Recuerda que cuando las rectas se encuentran expresadas en forma general (Ax+By+C=0)la pendiente se puede obtener fácilmente mediante el cociente de las variables A y B de la ecuación general. Así mismo, cuando se encuentra en forma vectorial, paramétrica o continua puede ser útil obtenerla mediante el cociente de las componentes del vector director.

m=-AB  o  m=v2v1

Dos rectas r y s son paralelas si se cumple:

mr=ms  o  vr=k·vs, k 

donde:

  • mr y ms son las pendientes de r y s respectivamente.
  • vr y vs son vectores directores de r y s respectivamente.
  • k es un número real.

Cálculo de una recta paralela a otra dada

Como hemos visto anteriormente, cuando disponemos de dos rectas expresadas en su ecuación general:

r  Ax+By+C=0s  A'x+B'y+C'=0

podemos determinar facilmente si ambas son paralelas comprobando que se cumple la siguiente ecuación:

mr=ms -AB=-A'B'AB=A'B'

Observa que el hecho de que dos rectas sean paralelas dependen de los coeficientes A, B, A' y B' de la ecuación general de sus rectas, nunca de C ni C'. Esto nos permite determinar que siempre que A=A' y B=B' ambas rectas serán paralelas independientemente del valor de C y C'.

Si las ecuaciones generales de dos rectas r y s tienen la siguiente forma, ambas son paralelas:

r  Ax+By+C=0s  Ax+By+K=0, K

Rectas paralelas al eje OX

Cualquier recta r que sea paralela al eje OX tiene la forma:

y = a, a  

Rectas paralelas al eje OY

Cualquier recta r que sea paralela al eje OY tiene la forma:

x = a, a  

Ficha de ejercicios resueltos

Aquí puedes poner a prueba lo que has aprendido en este apartado.

Paralelismo de dos rectas

dificultad

Determina si las ecuaciones de las rectas r ≡ 7x  - y + 2 = 0 y s ≡ 4x - 2y + 3 = 0 son paralelas. 

Cálculo de la ecuación de la recta paralela a otra y que pasa por un punto

dificultad

Dada la ecuación de la recta 2x-y+3 = 0, determina la ecuación de la recta paralela a ella y que pase por el punto (1,3).

Encontrar una recta paralela a otra dada

dificultad

Dada la ecuación de la recta 3x + 2y + 5 = 0, determina otra recta distinta que sea paralela a ella.

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