Rectas Paralelas

Como determinar si dos rectas son paralelas

Dos rectas, r y s, se dice que son paralelas ( $r ∥ s$ ) si sus vectores directores ${\vec{v}}_{r}$ y ${\vec{v}}_{s}$ son proporcionales o sus pendientes $m_{r}$ y $m_{s}$ son iguales

Dos semirrectas con origen común crean dos ángulos.

Rectas Paralelas

En la figura se muestran dos rectas r y s:

$r \equiv x - y - 1 = 0 s \equiv (x, y) = (3, 0) + λ \cdot (1, 1)$

Ambas son paralelas ya que se cumple que:

$m_{r} = m_{s} \Rightarrow - \frac{A}{B} = \frac{v_{s 2}}{v_{s 1}} \Rightarrow - \frac{1}{- 1} = \frac{1}{1} \Rightarrow 1 = 1$

Recuerda que cuando las rectas se encuentran expresadas en forma general ( $A x + B y + C = 0$ )la pendiente se puede obtener fácilmente mediante el cociente de las variables A y B de la ecuación general. Así mismo, cuando se encuentra en forma vectorial, paramétrica o continua puede ser útil obtenerla mediante el cociente de las componentes del vector director.

$m = - \frac{A}{B} o m = \frac{v_{2}}{v_{1}}$

Dos rectas r y s son paralelas si se cumple:

$m_{r} = m_{s} o {\vec{v}}_{r} = k \cdot {\vec{v}}_{s}, k \in ℝ$

donde:

$m_{r}$ y $m_{s}$ son las pendientes de r y s respectivamente.
${\vec{v}}_{r}$ y ${\vec{v}}_{s}$ son vectores directores de r y s respectivamente.
k es un número real.

Ejemplo

Determina si las ecuaciones de las rectas r ≡ 7x - y + 2 = 0 y s ≡ 4x - 2y + 3 = 0 son paralelas.

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Cálculo de una recta paralela a otra dada

Como hemos visto anteriormente, cuando disponemos de dos rectas expresadas en su ecuación general:

$r \equiv A x + B y + C = 0 s \equiv A' x + B' y + C' = 0$

podemos determinar facilmente si ambas son paralelas comprobando que se cumple la siguiente ecuación:

$m_{r} = m_{s} \Rightarrow - \frac{A}{B} = - \frac{A'}{B'} \Rightarrow \frac{A}{B} = \frac{A'}{B'}$

Observa que el hecho de que dos rectas sean paralelas dependen de los coeficientes A, B, A' y B' de la ecuación general de sus rectas, nunca de C ni C'. Esto nos permite determinar que siempre que A=A' y B=B' ambas rectas serán paralelas independientemente del valor de C y C'.

Si las ecuaciones generales de dos rectas r y s tienen la siguiente forma, ambas son paralelas:

$r \equiv A x + B y + C = 0 s \equiv A x + B y + K = 0, K \in ℝ$

Ejemplo

Dada la ecuación de la recta 3x + 2y + 5 = 0, determina otra recta distinta que sea paralela a ella.

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