Como determinar si dos rectas son perpendiculares

Dos rectas, r y s, se dice que son perpendiculares (rs) si sus vectores directores vr y vs son perpendiculares (vr·vs = 0) o sus pendientes mr y ms son inversas y cambiadas de signo (mr=-1ms).

Dos semirrectas con origen común crean dos ángulos.

Rectas perpendiculares

En la figura se muestran dos rectas r y s:

r  x - y - 1=0s  x,y = 1,4 + λ·2,-2

Ambas son perpendiculares ya que se cumple que:

ms=v2v1=-22=-1mr=-AB=-1-1=1 mr = -1ms1 = 1

Recuerda que cuando las rectas se encuentran expresadas en forma general (Ax+By+C=0) la pendiente se puede obtener fácilmente mediante el cociente de las variables A y B de la ecuación general. Así mismo, cuando se encuentra en forma vectorial, paramétrica o continua puede ser útil obtenerla mediante el cociente de las componentes del vector director.

m=-AB  o  m=v2v1

Dos rectas r y s son perpendiculares si se cumple:

mr=-1ms  o  vr·vs = 0

donde:

  • mr y ms son las pendientes de r y s respectivamente.
  • vr y vs son vectores directores de r y s respectivamente.

Cálculo de una recta perpendicular a otra dada

Como hemos visto anteriormente, cuando disponemos de dos rectas expresadas en su ecuación general:

r  Ax+By+C=0s  A'x+B'y+C'=0

podemos determinar facilmente si ambas son perpendiculares comprobando que se cumple la siguiente ecuación:

mr=-1ms -AB=-1-A'B'-AB=B'A'

Observa que el hecho de que dos rectas sean perpendiculares depende de los coeficientes A, B, A' y B' de la ecuación general de sus rectas, nunca de C ni C'. Esto nos permite determinar que siempre que A=-B' y B=A' ambas rectas serán perpendiculares independientemente del valor de C y C'.

Si las ecuaciones generales de dos rectas r y s tienen la siguiente forma, ambas son perpendiculares:

r  Ax+By+C=0s  -Bx+Ay+K=0, K

Rectas perpendiculares al eje OX

Cualquier recta r que sea perpendicular al eje OX tiene la forma:

x = a, a  

Rectas perpendiculares al eje OY

Cualquier recta r que sea perpendicular al eje OY tiene la forma:

y = a, a  

Ficha de ejercicios resueltos

Aquí puedes poner a prueba lo que has aprendido en este apartado.

Perpendicularidad de dos rectas

dificultad

Determina si las ecuaciones de las rectas r ≡ 4x  + 2y + 3 = 0 y s ≡ 4x - 8y + 5 = 0 son perpendiculares. 

Recta Perpendicular a otra dada

dificultad

Dada la ecuación de la recta 7x - 4y + 1 = 0, determina otra recta distinta que sea perpendicular a ella.

Recta perpendicular a otra que pasa por un punto determinado

dificultad

Dada la ecuación de la recta 3x-2y+1 = 0, determina la ecuación de la recta perpendicular a ella y que pase por el punto (1,3).

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