Ecuaciones paramétricas de la recta conocidos un punto y un vector director

Las ecuaciones paramétricas de cualquier recta r se obtienen por medio de la siguiente expresión:

x=a1+λ·v1y=a2+λ·v2  λ

Donde:

  • x e y son las coordenadas de cualquier punto P(x,y) de la recta.
  • a1 y a2 son las coordenadas de un punto conocido de la recta A(a1,a2).
  • v1 y v2 son las componentes de un vector director v=v1,v2 de r.
  • λ es un valor real que determina cada coordenada P(x,y) dependiendo del valor que se le asigne.

Explicación

Cualquier recta r que puedas dibujar sobre una hoja de papel puede ser determinada analíticamente por medio de punto A que forme parte de dicha recta y una dirección que se puede expresar mediante un vector no nulo v .

Recta definida por un punto y un vector

Definición de una recta por medio de un punto y un vector

Como puedes observar en la figura r se trata de una recta que pasa por el punto A y cuya dirección viene dada por el vector v.

El vector encargado de determinar la dirección de la recta recibe el nombre de vector director y como podrás imaginar este no es único ya que cualquier vector paralelo a este nos sirve también para determinar la dirección de la recta. De esta forma, si v es un vector director de la recta r, también lo serán cualquier múltiplo de v (λ·v   λ).

Representación gráfica de la multiplicación gráfica de un vector un valor escalar

Multiplicación de un número real por un vector cualquiera

Observa en la figura como al multiplicar el vector a por un número real este no cambia de dirección, aunque si lo puede hacer en módulo (tamaño) o en sentido (si el número es negativo). De forma básica para definir una recta es necesaria la dirección de un vector (no su módulo o sentido). Por tanto, si utilizamos el vector a para definir una recta en realidad podemos utilizar cualquier vector que cumpla que λ·a   λ, ya que todos tienen la misma dirección.

Tal y como estudiamos en la ecuación vectorial de una recta, si A(a1,a2) es un punto conocido de una recta r que posee un vector director v=v1,v2 y P(x,y) un punto cualquiera de ella sabemos que:

x,y=a1,a2+λv1,v2    λ

De aquí podemos deducir que:

x,y=a1+λ·v1,a2+λ·v2    λ

Si a continuación igualamos las componentes a uno y otro lado de la ecuación obtenemos lo que se denominan ecuaciones paramétricas de la recta.

x=a1+λ·v1y=a2+λ·v2  λ

Experimenta y Aprende
 
Datos
A (7 + 3i) | v (7 + 3i)
Ecuaciones paramétricas
x=7 + 3i
y=7 + 3i , λ
Ecuaciones paramétricas de la recta definida por un punto y un vector
La figura muestra una recta r definida por un punto cualquiera (A) perteneciente a r y un vector v . Arrastra A o v y observa como se obtiene las ecuaciones paramétricas de la recta que permite obtener cualquier punto (x,y) de la misma.

Ecuaciones paramétricas de la recta conocidos dos puntos de la misma

Si en vez de conocer un punto A y un vector director v de una recta conocemos al menos dos puntos de la misma A y B, también podremos calcular su ecuación paramétrica. Para ello, basta con utilizar ambos puntos para calcular un vector director aplicando la propia definición de vector. De esta forma, un posible vector podría ser  v=b1-a1,b2-a2.

Las ecuaciones paramétricas de cualquier recta r se pueden obtener por medio de la siguiente expresión:

x=a1+λ·b1-a1y=a2+λ·b2-a2  λ

Donde:

  • x e y son las coordenadas de cualquier punto P(x,y) de la recta.
  • a1 y a2 son las coordenadas de un punto conocido de la recta A(a1,a2).
  • b1 y b2 son las coordenadas de otro punto conocido de la recta B(b1,b2).
  • λ es un valor real que determina cada coordenada P(x,y) dependiendo del valor que se le asigne.

Experimenta y Aprende
 
Datos
A (7 + 3i) | B (7 + 3i)
Ecuaciones paramétricas
x=7 + 3i
y=7 + 3i, λ ∈ ℝ
Ecuaciones paramétricas de la recta definida por dos puntos
La figura muestra una recta r definida por dos puntos cualesquiera A y B pertenecientes a r. Arrastra cualquiera de ellos y observa como se obtiene la ecuación paramétrica de r que permite obtener cualquier punto (x,y) de la misma. Comprueba que efectivamente: x=a1+λ·b1-a1y=a2+λ·b2-a2  λ

Ficha de ejercicios resueltos

Aquí puedes poner a prueba lo que has aprendido en este apartado.

Calcular ecuaciones paramétricas con un punto y un vector

dificultad

Determina las ecuaciones paramétricas de una recta que pasa por el punto A(2,1) y posee un vector director v=(-3,5) . ¿Podrías indicar otro punto más de dicha recta?

Un punto pertenece a la recta?

dificultad

Dada las siguientes ecuaciones paramétricas de una recta cualquiera determinar si los puntos A(-8,1) y B(2,5) pertenecen a dicha recta.

x=1-λ3y=-2+λ

Ficha de fórmulas

Aquí tienes un completo formulario del apartado Ecuaciones paramétricas de la recta. Entendiendo cada fórmula serás capaz de resolver cualquier problema que se te plantee en este nivel.

Pulsa sobre el icono   para exportarlas a cualquier programa externo compatible.

Ecuaciones paramétricas de la recta (punto-vector)

x=a1+λ·v1y=a2+λ·v2  λ

Ecuaciones paramétricas de la recta (dos puntos)

x=a1+λ·b1-a1y=a2+λ·b2-a2  λ

Ficha de apartados relacionados

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