Ecuaciones paramétricas de la recta

Ecuaciones paramétricas de la recta conocidos un punto y un vector director

Explicación

Cualquier recta r que puedas dibujar sobre una hoja de papel puede ser determinada analíticamente por medio de punto A que forme parte de dicha recta y una dirección que se puede expresar mediante un vector no nulo $\overrightarrow{v}$ .

Definición de una recta por medio de un punto y un vector

Como puedes observar en la figura r se trata de una recta que pasa por el punto A y cuya dirección viene dada por el vector $\overrightarrow{v}$.

El vector encargado de determinar la dirección de la recta recibe el nombre de vector director y como podrás imaginar este no es único ya que cualquier vector paralelo a este nos sirve también para determinar la dirección de la recta. De esta forma, si $\overrightarrow{v}$ es un vector director de la recta r, también lo serán cualquier múltiplo de $\overrightarrow{v}$ ($\lambda ·\overrightarrow{v} \lambda \in \mathrm{ℝ}$).

Multiplicación de un número real por un vector cualquiera

Observa en la figura como al multiplicar el vector $\overrightarrow{a}$ por un número real este no cambia de dirección, aunque si lo puede hacer en módulo (tamaño) o en sentido (si el número es negativo). De forma básica para definir una recta es necesaria la dirección de un vector (no su módulo o sentido). Por tanto, si utilizamos el vector $\overrightarrow{a}$ para definir una recta en realidad podemos utilizar cualquier vector que cumpla que $\lambda ·\overrightarrow{a} \lambda \in \mathrm{ℝ}$, ya que todos tienen la misma dirección.

Tal y como estudiamos en la ecuación vectorial de una recta, si A(a₁,a₂) es un punto conocido de una recta r que posee un vector director $\overrightarrow{v}=\left(v_1,v_2\right)$ y P(x,y) un punto cualquiera de ella sabemos que:

$$\left(x,y\right)=\left(a_1,a_2\right)+\lambda \left(v_1,v_2\right) \lambda \in \mathrm{ℝ}$$

De aquí podemos deducir que:

$$\left(x,y\right)=\left(a_1+\lambda ·v_1,a_2+\lambda ·v_2\right) \lambda \in \mathrm{ℝ}$$

Si a continuación igualamos las componentes a uno y otro lado de la ecuación obtenemos lo que se denominan ecuaciones paramétricas de la recta.

Ecuaciones paramétricas de la recta conocidos dos puntos de la misma

Si en vez de conocer un punto A y un vector director v de una recta conocemos al menos dos puntos de la misma A y B, también podremos calcular su ecuación paramétrica. Para ello, basta con utilizar ambos puntos para calcular un vector director aplicando la propia definición de vector. De esta forma, un posible vector podría ser  $\overrightarrow{v}=\left(b_1-a_1,b_2-a_2\right)$.