Enunciado

dificultad

Sabiendo que la distancia entre Venus y el Sol varía entre su perihelio de 0.718 UA y su afelio de 0.728 UA, determina:

  • La longitud del semieje mayor de la órbita del planeta
  • La velocidad en el afelio, sabiendo que en el perihelio es de aproximadamente 35.24 km/s
  • La velocidad en los extremos del eje menor de la órbita

Solución

Datos

  • Perihelio: rP = 0.718 UA ( unidades astronómicas )
  • Afelio: r= 0.728 UA
  • Valor de la velocidad en el perihelio: vP = 35.24 km/s 

Consideraciones previas

La siguiente imagen tiene los elementos fundamentales de la órbita elíptica de venús, representado en azul en distintos puntos, así como la representación de las magnitudes pedidas.

Resolución

En primer lugar, a partir de la imagen anterior, es inmediato que el eje mayor de la elipse ( 2·a ) es, justamente, la suma del perihelio y el afelio. Así, pues, nos queda:

rP+rA=2·aa=rP+rA2=0.718+0.7282=0.723 UA

Para determinar la velocidad en el afelio, a partir de la velocidad en el perihelio, podemos aplicar la segunda ley de Kepler, recordando que, al estar en los extremos de la elipse, el ángulo entre la velocidad y el vector de posición de Venus respecto al Sol es 90º. Así, nos queda:

rP·vP·sinθP=rA·vA·sinθAvA=rP·vPrA=0.718·35.240.728=34.75 km/s

Por último, para calcular la velocidad en el extremo del eje volvemos a aplicar la segunda ley de Kepler. De esta manera relacionamos la velocidad en dicho punto con la velocidad en el perihelio, por ejemplo. Hay que tener en cuenta que para calcular el ángulo que forma el vector velocidad y el vector de posición hay que recurrir a un poco de trigonometría. Observa:

rP·vP·sinθP=r·v·sinθ

cosθ=a-rPa=0.723-0.7180.723=0.0069θ=89.6º

rP·vP·sinθP=r·v·sinθ0.718·35.24=0.723·v·sin89.6ºv=34.99 km/s

Observa que la órbita de Venús es prácticamente circular, lo que se traduce en una velocidad muy similar en cualquier punto estudiado.

Ficha de fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados
dP,F+d(P,F')=2·a
r1·v1·sinθ1=r2·v2·sinθ2