Enunciado

dificultad

Sabiendo que la distancia entre Venus y el Sol varía entre su perihelio de 0.718 UA y su afelio de 0.728 UA, determina:

  • La longitud del semieje mayor de la √≥rbita del planeta
  • La velocidad en el afelio, sabiendo que en el perihelio es de aproximadamente 35.24 km/s
  • La velocidad en los extremos del eje menor de la √≥rbita

Solución

Datos

  • Perihelio: rP = 0.718 UA ( unidades astron√≥micas )
  • Afelio: r= 0.728 UA
  • Valor de la velocidad en el perihelio: vP = 35.24 km/s 

Consideraciones previas

La siguiente imagen tiene los elementos fundamentales de la √≥rbita el√≠ptica de ven√ļs, representado en azul en distintos puntos, as√≠ como la representaci√≥n de las magnitudes pedidas.

Resolución

En primer lugar, a partir de la imagen anterior, es inmediato que el eje mayor de la elipse ( 2·a ) es, justamente, la suma del perihelio y el afelio. Así, pues, nos queda:

rP+rA=2·aa=rP+rA2=0.718+0.7282=0.723 UA

Para determinar la velocidad en el afelio, a partir de la velocidad en el perihelio, podemos aplicar la segunda ley de Kepler, recordando que, al estar en los extremos de la elipse, el √°ngulo entre la velocidad y el vector de posici√≥n de Venus respecto al Sol es 90¬ļ. As√≠, nos queda:

rP·vP·sinθP=rA·vA·sinθAvA=rP·vPrA=0.718·35.240.728=34.75 km/s

Por √ļltimo, para calcular la velocidad en el extremo del eje volvemos a aplicar la segunda ley de Kepler. De esta manera relacionamos la velocidad en dicho punto con la velocidad en el perihelio, por ejemplo. Hay que tener en cuenta que para calcular el √°ngulo que forma el vector velocidad y el vector de posici√≥n hay que recurrir a un poco de trigonometr√≠a. Observa:

rP·vP·sinθP=r·v·sinθ

cosθ=a-rPa=0.723-0.7180.723=0.0069θ=89.6º

rP·vP·sinθP=r·v·sinθ0.718·35.24=0.723·v·sin89.6ºv=34.99 km/s

Observa que la √≥rbita de Ven√ļs es pr√°cticamente circular, lo que se traduce en una velocidad muy similar en cualquier punto estudiado.

Ficha de fórmulas

Estas son las principales f√≥rmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teor√≠a de los apartados relacionados. Adem√°s, en ellos encontrar√°s, bajo la pesta√Īa F√≥rmulas, los c√≥digos que te permitir√°n integrar estas f√≥rmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados
r1·v1·sinθ1=r2·v2·sinθ2
dP,F+d(P,F')=2·a