La elipse se define como una línea curva cerrada tal que la suma de las distancias a dos puntos fijos, F y F' , llamados focos, es constante.

Elipse en la que se reflejan sus focos y las distancias a cada uno de ellos desde cualquier punto.

Elipse

Se trata de una circunferencia achatada que se caracteriza porque la suma de las distancias desde cualquiera de sus puntos P hasta otros dos puntos denominados focos (F y F') es siempre la misma.

Ten en cuenta que para cualquier punto de la elipse siempre se cumple que:

dP,F+d(P,F')=2·a

Donde d(P,F) y d(P,F') es la distancia de un punto genérico P al foco F y al foco F' respectivamente.

Elementos de la elipse

Los siguientes elementos se encuentran en cada elipse:

  1. Centro: Es el punto de intersección de los ejes. Es, además, centro de simetría.
  2. Eje principal o focal: Es el eje en el que se encuentran los focos. Es un eje de simetría.
  3. Eje secundario: Es el eje perpendicular al eje principal, mediatríz del segmento que une los focos.
  4. Vértices: Puntos de intersección de la elipse con los ejes.
  5. Distancia focal: Distancia entre los focos. Su longitud es 2·c.
  6. Semidistancia focal: Distancia entre el centro y cada foco. Su longitud es c.
  7. Semieje mayor o principal: Segmento entre el centro y los vértices del eje principal. Su longitud es a.
  8. Semieje menor o secundario: Segmento entre el centro y los vértices del eje secundario. Su longitud es b y cumple b=a2-c2 
  9. Radio vectores: Cada punto de la elipse cuenta con dos radio vectores que son los segmentos que unen dicho punto a cada uno de los focos. Para un punto P(x , y) se cumple que d(P , F) = a -e·x y d(P, F') = a+e·x

Ecuación de la elipse

Ecuación de eje mayor horizontal centrada en un punto cualquiera P(x0,y0)

Elipse de eje mayor horizontal en la que se reflejan sus focos y las distancias a cada uno de ellos desde cualquier punto.

La ecuación de una elipse cuyo eje mayor es horizontal viene dada por:

x-x02a2+y-y02b2=1

Donde:

  • x0 , y0 :  Coordenadas x e y del centro de la elipse
  • a : Semieje de abcisas
  • : Semieje de ordenadas. En nuestro caso debe cumplirse que b ⩽ a.

Ecuación de eje mayor vertical centrada en un punto cualquiera P(x0,y0)

Elipse de eje mayor vertical en la que se reflejan sus focos y las distancias a cada uno de ellos desde cualquier punto.

La ecuación de una elipse cuyo eje mayor es vertical viene dada por:

x-x02b2+y-y02a2=1

Donde:

  • x0 , y0 :  Coordenadas x e y del centro de la elipse
  • a : Semieje de abcisas
  • : Semieje de ordenadas. En nuestro caso debe cumplirse que b > a.

Excentricidad

La excentricidad nos permite conocer lo alejados que están los focos del centro de la elipse.

e=1-b2a2

Observa que 0 < e < 1. Cuando e ≈ 0 los focos se superponen y la elipse es una circunferencia.

Experimenta y Aprende
 
Ecuación
(x)2/a2+(y)2/b2=1
e=1-b2a2=
d(P,F) = | d(P,F') =
Ecuación de la elipse no centrada en el origen con el semieje mayor horizontal
La figura muestra una elipse no centrada en el origen con el semieje mayor horizontal. Puedes arrastrar los deslizadores para cambiar el valor de a y el valor de b (longitud de los semiejes). De igual forma puedes mover el punto origen O (x0 , y0). Observa como se calcula su ecuación y su excentricidad a partir de estos parámetros.
 
A continuacíon desliza el punto P a lo largo de la elipse y comprueba que, independientemente de donde se encuentre, la suma de las distancias desde dicho punto hasta cada uno de sus focos (F y F') es siempre la misma y cumple que:
 
d(P,F) + d(P,F') = 2a
 
Nota. En la animación siempre el valor de a es mayor o igual que b para que el semieje mayor sea horizontal. 

Y ahora... ¡Ponte a prueba!

Ficha de ejercicios resueltos

Aquí puedes poner a prueba lo que has aprendido en este apartado.

Ecuación de una elipse conocidas las longitudes de sus ejes

dificultad
Determinar la ecuación de una elipse de eje mayor vertical centrada en el punto P(-1,2) y cuyos ejes miden 20 y 16.

Excentricidad de una elipse

dificultad

Dada la siguiente ecuación de una elipse determina su excentricidad.

x216+y24=1

Ecuación de la elipse conocida la distancia focal y el eje mayor

dificultad
Determina la ecuación de la elipse horizontal centrada en el origen cuyo eje mayor horizontal mide 10 y su distancia focal mide 6.

Centro y ejes de una elipse dada una ecuación

dificultad

Dada la siguiente ecuación:

(x+2)2+32 (y-4)2=16 

a) ¿Cuáles son sus semiejes mayor (a) y menor (b)?
b) ¿Donde se encuentra centrada?

Ficha de fórmulas

Aquí tienes un completo formulario del apartado Ecuación de la Elipse. Entendiendo cada fórmula serás capaz de resolver cualquier problema que se te plantee en este nivel.

Pulsa sobre el icono   para exportarlas a cualquier programa externo compatible.

Condición elipse

dP,F+d(P,F')=2·a

Ecuación de una elipse de eje mayor horizontal

x-x02a2+y-y02b2=1

Semieje menor de la elipse

b2=a2-c2

Ficha de apartados relacionados

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