Potencias de números complejos en forma binómica

Calcular:

a) i⁵⁵

Dividimos 55 entre 4 y obtenemos que el resto es 3, por tanto i⁵⁵ = i⁰ = -i

b) i¹⁸

Dividimos 18 entre 4 y obtenemos que el resto es 2, por tanto i¹⁸ = i² = -1 

c) ${\left(3+2i\right)}^3$

$$\begin{gathered} {\left(3+2i\right)}^3 = {\left(3+2i\right)}^2·\left(3+2i\right) \Rightarrow \\ {\left(3+2i\right)}^3 =\left(9+4i^2+12i\right)·\left(3+2i\right)\Rightarrow \\ {\left(3+2i\right)}^3=\left(9-4+12i\right)·\left(3+2i\right) \Rightarrow \\ {\left(3+2i\right)}^3 =\left(5+12i\right)·\left(3+2i\right) \Rightarrow \\ {\left(3+2i\right)}^3=\left(5·3-12·2\right)+\left(12·3+5·2\right)i = -9+46i \Rightarrow \\ \boxed{{\left(3+2i\right)}^3 = -9+46i } \end{gathered}$$

d) ${\left(-1-2i\right)}^4$

$$\begin{gathered} {\left(-1-2i\right)}^4 = {\left(-1-2i\right)}^2·{\left(-1-2i\right)}^2 \Rightarrow \\ {\left(-1-2i\right)}^4 =\left(1+4i^2+4i\right)·\left(1+4i^2+4i\right)\Rightarrow \\ {\left(-1-2i\right)}^4=\left(1-4+4i\right)·\left(1-4+4i\right) \Rightarrow \\ {\left(-1-2i\right)}^4=\left(-3+4i\right)·\left(-3+4i\right) \Rightarrow \\ {\left(-1-2i\right)}^4= 9+16i^2-24i = -7-24i \Rightarrow \\ \boxed{{\left(-1-2i\right)}^4 = -7-24i } \end{gathered}$$