Cada número complejo en forma binómica a + bi se representa como un punto P(a,b) en el plano complejo. Como podrás suponer esta no es la única forma de representarlos. De hecho, otra forma alternativa de representación consiste en utilizar el vector que se define entre el origen de coordenadas y el punto P (denominado afijo del número complejo). De esta forma cada número complejo en vez de venir determinado únicamente por los valores a y b puede venir dado por la longitud (o módulo) del vector OP y el ángulo α (o argumento) que se forma entre el vector y el semieje positivo real.

Representación de números complejos en forma polar

Cualquier número complejo a+bi está representado por su afijo en las coordenadas (a,b). Dicho punto puede venir dado igualmente por la longitud del vector que une el origen con el afijo (OP) y ángulo (α) que forma con el semieje positivo de abscisas.

Módulo de un número complejo

Se llama módulo, longitud o valor absoluto de un número complejo z = a + bi, representado como m, |z|, |OP| o OP al módulo o longitud del vector OP. Se calcula a partir de la representación binómica de la siguiente forma:

OP =OP = z = m = a2+b2

Argumento de un número complejo

El argumento de un número complejo en forma binómica z = a + bi, se trata del ángulo que forma el vector OP con el semieje positivo de abscisas siguiendo el sentido contrario a las agujas del reloj. Se calcula mediante la siguiente expresión:

tg α=ba

La ecuación anterior tiene infinitas soluciones, ya que debido a los giros, existen infinitos ángulos que la cumplen. Incluso si restringimos α a un ángulo comprendido entre 0 y 2π siempre tendremos dos ángulos que difieren 180º y que poseen la misma tangente. De esta forma para poder concretar exactamente el argumento del número complejo deberemos observar los signos de a y b. Estos signos nos "dirán" en que cuadrante se encuentra el ángulo y por tanto podremos escoger el correcto de los dos posibles.

Determinados argumentos nos pueden dar información concreta del tipo de número complejo que lo posee. En concreto si:

Argumento Número Complejo
Número real positivo (a > 0 y b = 0)
90º Número imaginario puro positivo (a = 0 y b > 0)
180º Numero real negativo (a < 0 y b = 0)
270º Número imaginario puro negativo (a = 0 y b < 0)

Expresión de un número complejo en forma polar a partir de su forma binómica

Un número complejo en forma binómica a+bi cuyo afijo es P se puede expresar en forma polar como mα donde m es el módulo, valor absoluto o longitud del vector OP y α es argumento o ángulo formado entre el vector OP y el semieje positivo de abscisas.

a + bi = mα

Experimenta y Aprende
 
Datos
Forma binómica. Z= 7 + 3i
Forma polar. Z= mα =7 + 3i
Numeros complejos en forma polar
La figura muestra el afijo de un número complejo (Z) que puedes arrastrar libremente, así como su valor numérico representado en forma binómica y en forma polar. Comprueba que en la expresión binómica de cada número la parte real se representa en el eje de abcisas, también denominado eje real y la parte imaginaria en el eje de ordenadas. Por el contrario, en la representación polar se utiliza la longitud (m) del vector desde el origen hasta el afijo (módulo) y el ángulo α (argumento) que forma dicho vector con el semieje real positivo siguiendo el sentido de las agujas del reloj. 

Expresión de un número complejo en forma binómica a partir de su forma polar

Si aplicamos las definiciones de seno y coseno sobre el vector OP, nos podemos dar cuenta de que:

cos α=ama=m·cos α          sin β=bmb=m·sin β

Si sustituimos los valores de a y b sobre la expresión general de la forma binómica a+bi, obtenemos la manera de convertirlo a forma polar.

Un número complejo en forma polar mα se puede expresar en forma binómica a + bi mediante la siguiente expresión:

a + bi = (m · cos α) + (m · sen α) i

Propiedades de los números complejos en forma polar

  • Dos números complejos mα = m'β son iguales si los módulos son iguales y además se cumple que sus argumentos difieren un múltiplo entero de 360º.

mα=m'β y α=β+k·360º,  k

  • El conjugado (Z) de un número complejo en forma binómica es otro número complejo que comparte la misma parte real y la parte imaginaria cambiada de signo. Gráficamente (Z y Z) se representan simétricos respecto al eje de abscisas, por tanto en forma polar si Z=mα:

Z=m-α=m360º-α

  • El opuesto (-Z) de un número complejo Z en forma binómica es un número complejo que comparten la misma parte real e imaginaria aunque cambiadas de signo. Gráficamente, (Z y -Z) se representan simétricos con respecto al origen de coordenadas, por tanto, en forma polar, el opuesto de un número Z=mα se expresa como:
Representación de números en forma polar. Utilizando el módulo y argumento del vector que une el origen de coordenadas con el afijo del número complejo.

Números complejos conjugados y opuestos en forma polar

-Z=mα+180

 

Ficha de ejercicios resueltos

Aquí puedes poner a prueba lo que has aprendido en este apartado.

Transformación de números complejos en forma binómica a polar

dificultad

Transforma los siguientes números complejos en forma binómica a polar:

a)  5-5i 
b) 3+3i

Transformación de números complejos en forma polar a binómica

dificultad
a) Calcula el número 230º en forma binómica
b) Calcula 1590º en forma binómica

Ficha de fórmulas

Aquí tienes un completo formulario del apartado Representación de Números Complejos en Forma Polar. Entendiendo cada fórmula serás capaz de resolver cualquier problema que se te plantee en este nivel.

Pulsa sobre el icono   para exportarlas a cualquier programa externo compatible.

Módulo de un número complejo z = a+bi

z=a2+b2

Argumento de un número complejo z = a+bi

α=arc tg ba

Ficha de apartados relacionados

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