Se denomina circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de otro punto fijo denominado centro.

Circunferencia en la que se muestra su centro C y el radio de la misma r.

Circunferencia

En la figura se muestra una circunferencia. Observa que cualquier punto P(x,y) de la circunferencia se encuentra siempre situado a la misma distancia de un punto C(a,b) denominado centro. Dicha distancia se denomina radio r de la circunferencia.

Si consideramos que la distancia entre cualquier punto P(x,y) a su centro C(a,b) se denomina radio y vale r, entonces:

dP,C=r=x-a2+y-b2

Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación obtenemos que:

x-a2+y-b22=r2 x2-2ax+a2+y2-2by+b2=r2 x2+y2+mx+ny+p=0

La ecuación de una circunferencia centrada en el punto C(a,b) y con radio r se puede escribir de la siguientes formas:

(1) x-a2+y-b2=r(2) x2+y2+mx+ny+p=0

donde:

  • m=-2a
  • n=-2b
  • p=a2+b2-r2

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Datos
C (0,0) | r = (5)
Ecuación
y=-A/Bx-C/Ay
Ecuación de una circunferencia

La figura muestra una circunferencia definida por su centro C(a,b) y su radio r. Arrastra C o el deslizador para cambiar el valor de r y observa como se obtiene la ecuación de la circunferencia.

x2+y2+mx+ny+p=0m=-2an=-2bp=a2+b2-r2

Existencia de una circunferencia

Como podrás suponer, no todas las combinaciones de m, n y p de la ecuación x2+y2+mx+ny+p=0 representan a una circunferencia. En concreto se cumple que:

  • Si a2+b2-p>0, la circunferencia existe.
  • Si a2+b2-p=0, la circunferencia es tan solo un punto ya que su radio es cero.
  • Si a2+b2-p<0, la circunferencia NO existe.

Cálculo del centro y del radio de una circunferencia

Cuando disponemos de la ecuación de una circunferencia en la forma x2+y2+mx+ny+p=0  podemos determinar su centro por medio de la siguiente expresión:

C-m2,-n2

De igual forma se puede obtener su radio utilizando la ecuación:

R=12m2+n2-4p

Casos particulares de circunferencias

Ecuación de una circunferencia centrada en el origen.

Cuando una circunferencia tiene su centro en el origen de coordenadas C(0,0) es posible sustituir las coordenadas de este punto en su ecuación de tal forma que:

x-02+y-02=r x2+y2=r2

Circunferencia centrada en el origen de coordenadas

Circunferencia centrada en el origen

En la figura se muestra una circunferencia centrada en el origen. Puedes observar que su radio es 4 por lo que su ecuación es:

x2+y2=42

La ecuación de una circunferencia centrada en el origen de coordenadas tiene la forma:

x2+y2=r2

donde r es el radio de dicha corcunferencia.

Ecuación de una circunferencia que pasa por el origen.

Cuando una circunferencia de ecuación x2+y2+mx+ny+p=0 pasa por el origen de coordenadas se cumple que:

02+02+m·0+n·0+p=0 p=0

Circunferencia en la que se muestra su centro C y el radio de la misma r.

Circunferencia que pasa por el origen

En la figura se muestra una circunferencia centrada en (3,3) que pasa por el origen de coordenadas. Observa que su ecuación, al igual que todas las circunferencias que cortan al origen, no posee coeficiente p:

x2+y2-6x-6y=0

La ecuación de una circunferencia centrada en el punto C(a,b) que pasa por el origen de coordenadas tiene la forma:

x2+y2+mx+ny=0

donde:

  • m=-2a
  • n=-2b

Ecuación de dos circunferencias concéntricas

Si observas bien la ecuación x2+y2+mx+ny+p=0 el único término que depende directamente del radio es p. Por tanto, dos circunferencias concéntricas (centradas en el mismo punto y con radio distinto) diferirán en este coeficiente.

Circunferencias concentricas.

Circunferencias Concéntricas

En la figura se muestran dos circunferencias. Dado que poseen el mismo centro y distinto radio, ambas son concentricas. Comprueba que en sus ecuaciones, al igual que en todas las ecuaciones de circunferencias concéntricas, todos los coeficientes son idénticos excepto el valor de p.

x2+y2-20x-20y+164=0x2+y2-20x-20y+136=0

Las ecuaciones de dos circunferencias concéntricas de radio r y r' respectivamente centradas en el punto C(a,b) disponen de los mismos coeficientes n y m y difieren únicamente en el valor de p. Por tanto:

x2+y2+mx+ny+p=0x2+y2+mx+ny+p'=0

donde:

  • m=-2a
  • n=-2b
  • p=a2+b2-r2
  • p'=a2+b2-r'2

Y ahora... ¡Ponte a prueba!

Ficha de ejercicios resueltos

Aquí puedes poner a prueba lo que has aprendido en este apartado.

Existencia de una circunferencia

dificultad

Determina la existencia de la ecuación de la circunferencia x2+y2-2x+2y+5=0

Ecuación de la circunferencia dado su centro y su radio

dificultad

Determina la ecuación de la circunferencia centrada en el punto O(2,3) y cuyo radio es 3. ¿Podrías determinar otro punto de la circunferencia?

Circunferencia que pasa por el origen de coordenadas

dificultad

Determina el radio de la circunferencia cuya ecuación es x2+y2-2x+4y=0

Dos circunferecncias concéntricas

dificultad

¿Sabrías determinar la ecuación de la circunferencia concéntrica a x2+y2-10x+6y=0, cuyo radio vale la unidad?

Ficha de fórmulas

Aquí tienes un completo formulario del apartado Ecuación de la Circunferencia. Entendiendo cada fórmula serás capaz de resolver cualquier problema que se te plantee en este nivel.

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Ecuación de una circunferencia

(1) x-a2+y-b2=r(2) x2+y2+mx+ny+p=0

Ecuación de la circunferencia que pasa por el origen

x2+y2+mx+ny=0

Ficha de apartados relacionados

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