Es común que en nuestro día a día nos encontremos con series de números, figuras o funciones que nos representan hechos o situaciones de la vida real. Por ejemplo, en competiciones deportivas es común trabajar con series.

Clasificación de la Eurocopa de Fútbol

En la Eurocopa comienzan 32 equipos de forma que en cada ronda el número de equipos que quedan es una serie de números formada por los siguientes elementos:

32, 16, 8, 4, 2, 1

En Matemáticas esa serie de números recibe el nombre sucesiones y a cada elemento de esa serie se le denomina término

Más concretamente a lo largo de este apartado vamos a estudiar:

Concepto de Sucesión

Una sucesión es un conjunto de elementos (generalmente números) denominados términos, dispuestos uno detrás de otro y con un cierto orden. De manera general se suelen representar de la siguiente forma: a1, a2, a3, ... , an donde:
  • a1, a2, a3, ... son los términos de la sucesión.
  • El subíndice de cada término nos indica su posición dentro de la sucesión
  • an recibe el nombre de término general. Está formado por una expresión algebraica que permite obtener cualquier término a partir de su posición. 

Tipos de sucesiones

Finitas o infinitas

Dependiendo de si la sucesión termina alguna vez o no, podemos distinguir dos tipos de sucesiones:

  • Sucesiones finitas. La sucesión termina en un momento determinado.
  • Sucesiones infinitas. La sucesión no termina nunca.

Sucesiones opuestas

Se dice que dos sucesiones con terminos generales an y bn respectivamente son sucesiones opuestas si el valor absoluto de sus términos generales es el mismo.

an=bn

Sucesiones inversas

Se dice que dos sucesiones con terminos generales an y bn respectivamente son sucesiones inversas si uno de sus términos generales es el inverso del otro término general.

an=1bn

Dentro de las sucesiones, es posible distinguir dos tipos muy particulares que se presentan en multitud de situaciones de la vida. Estos tipos son las denominadas progresiones aritméticas y geométricas.

Sucesiones crecientes

Se dice que una sucesión es creciente si cada uno de sus términos es mayor o igual que el anterior.

an+1 ≥ an

Sucesiones decrecientes

Se dice que una sucesión es decreciente si cada uno de sus términos es menor o igual que el anterior.

an+1 ≤ an

Sucesiones extrictamente crecientes

Se dice que una sucesión es creciente si cada uno de sus términos es mayor que el anterior.

an+1 > an

Sucesiones extrictamente decrecientes

Se dice que una sucesión es creciente si cada uno de sus términos es menor que el anterior.

an+1 < an

Sucesiones monótonas

Se dice que una sucesión es monótona si es creciente o decreciente.

Sucesiones constantes

Se dice que una sucesión es creciente si cada uno de sus términos es igual que el anterior.

an+1 = an

Sucesiones acotadas inferiomente

Se dice que una sucesión es acotada inferiormente si cada uno de sus términos es igual o mayor que un determinado valor V denominado cota inferior de la sucesión.

an ≥ V

Al valor más grande de las cotas inferiores se le llama ínfimo o extremo inferior. Si además el extremo inferior es un término de la sucesión, este recibe adicionalmente el nombre de mínimo.

Como podrás imaginar todas las sucesiones acotadas inferiomente son crecientes.

Sucesiones acotadas superiormente

Se dice que una sucesión es acotada inferiormente si cada uno de sus términos es igual o menor que un determinado valor V' denominado cota superior de la sucesión.

an ≤ V'

Al valor más grande de las cotas superiores se le llama supremo o extremo superior. Si además el extremo superior es un término de la sucesión, este recibe adicionalmente el nombre de máximo.

Como podrás imaginar todas las sucesiones acotadas superiormente son decrecientes.

Sucesiones acotadas

Se dice que una sucesión es acotada si está acotada inferiormente y superiormente. Por lo tanto, todos los términos de la sucesión son mayores o iguales que un valor V y menores o iguales que un valor V'. Por tanto:

V ≤ an ≤ V'

Progresiones aritméticas

Las sucesiones formadas por números reales, en las que cada término excepto el primero se obtiene al sumar al término anterior una misma cantidad, reciben el nombre de progresiones aritméticas. La cantidad constante que se suma recibe el nombre de diferencia.

Por ejemplo, las siguientes son progresiones aritméticas:

  • 3, 8, 13, 17, 22, ... ( el primer término es a1 = 3 y la diferencia es d = 5 ) 
  • 2, 5, 8, 11, 14, ... ( el primer término es a1 = 2 y la diferencia es d = 3 ) 
  • 7, 3, -1, -5, -9, ... ( el primer término es a1 = 7 y la diferencia es d = -4 ) 

En las progresiones aritméticas se cumple que el termino general es:

an=a1+n-1·d

donde:

  • a1 es el primer término de la progresión aritmética.
  • n es la posición del término que queremos calcular.
  • d es la diferencia utilizada en la progresión aritmética.

Suma de los términos de una progresión aritmética

La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética se puede obtener por medio de la la siguiente expresión.

S =a1+an2·n

donde:

  • a1 es el primer término de la progresión aritmética.
  • an es el último término que deseamos sumar.
  • n es el número total de términos que se suman.

En general, la suma del primer y último término de una progresión aritmética es igual a la del segundo con el del penúltimo pero también igual a la del tercero y el antepenúltimo y así sucesivamente. Por tanto se cumple que:

a1 + an = a2 + an-1=a3+an-2=a4+an-3=...

Demostración

Supongamos que deseamos sumar los n primeros términos de una sucesión S cuyo primer término es a1 y que posee de diferencia d:

S = a1 + a2+ ...  + an-1 + an

Si te das cuenta a1 = a2 - d y an = an-1 + d, por lo que si deseamos calcular a1+an tenemos que:

a1+an = a2-d+an-1+d a1 + an = a2 + an-1

En general, la suma del primer y último término es igual a la del segundo con el el penúltimo pero también igual a la del tercero y el antepenúltimo y así sucesivamente. Por tanto se cumple que:

a1 + an = a2 + an-1=a3+an-2=a4+an-3=...

Si ahora sumamos en columnas la misma sucesión 2 veces aunque con los términos en orden inverso tenemos que:

S=a1+a2+...+an-1+anS=an+an-1+...+a2+a12S=a1+an+a2+an-1+...+an-1+a2+an+a1 

Dado que todos los parentesis valen lo mismo podemos concluir que:

2S = n·a1+an

Despejando obtenemos la fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética.

S =a1+an2·n

Progresiones geométricas

Las sucesiones formadas por números reales, en las que cada término excepto el primero se obtiene al multiplicar al término anterior una misma cantidad, reciben el nombre de progresiones geométricas. La cantidad constante con la que se multiplica recibe el nombre de razón

Por ejemplo, las siguientes son progresiones aritméticas:

  • 4, 8, 16, 32, 64, ... ( el primer término es a1 = 4 y la razón es r = 2 ) 
  • 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, ... ( el primer término es a1 = 2 y la razón es r = 1/2 ) 
  • 1, -3, 9, -27, 81, ... ( el primer término es a1 = 1 y la razón es r = -3 ) 

En las progresiones geométricas se cumple que el termino general es:

an=a1·rn-1

donde:

  • a1 es el primer término de la progresión geométrica.
  • n es la posición del término que queremos calcular.
  • r es la razón utilizada en la progresión geométrica.

Suma de los términos de una progresión geométrica

Suma de los n primeros términos

La suma de los primeros n términos de una progresión geométrica se puede obtener por medio de la la siguiente expresión.

S =a1·rn-1r-1

donde:

  • a1 es el primer término de la progresión geométrica.
  • r es la razón de la progresión geométrica.
  • n es el número total de términos que se suman.

Demostración

Supongamos que deseamos sumar los n primeros términos de una progresión geométrica cuyo primer término es a1 y su razón es r:

S = a1 + a2+ ...  + an-1 + an

Si tenemos en cuenta que an = an-1 · r, al multiplicar S · r obtenemos:

S · r= a1·r a2+ a2 ·ra3+ ...  + an-1 ·ran + an·r S · r = a2 + a3 + ... + an + an · r

Si ahora a este resultado le restamos S, es decir, calculamos S·r - S:

S · r=a2+a3+...+an+an·r-S=a1+a2+a3+...+anS·r -S =a1+an·r                      

De esta forma:

S·r-1 = an·r - a1

Y dado que an=a1·rn-1, si lo sustituimos en la expresión obtenemos que:

S =a1·rn -1r -1

Suma infinita de términos

Si en el punto anterior hemos estudiado cuanto vale la suma de los primeros n términos de una progresión geométrica, cabe la posibilidad de preguntarnos cuánto valdría dicha suma si tomamos todos sus términos, es decir, infinitos términos. Para ello, Si analizamos la expresión de la suma de n términos y el valor de la razón obtenemos que si:

  • r1. En este caso si el valor de n es cada vez más grande (tiende al infinito) el valor de rn es todavía más grande, por lo que la suma sería un valor enorme: infinito. S = +
  • r1. En este caso rn a veces tomará un valor negativo y otras veces positivo dependiendo de si n es par o impar lo que hace que la suma no tienda hacía un valor determinado.
  • -1<r<1. Si r toma un a valor dentro de este rango rn tenderá a 0, lo que provoca que:
    S =a1·rn -1r -1 rn0 S = -a1r -1 Si r<1

Producto de los términos de una progresión geométrica

El producto de los primeros n términos de una progresión geométrica se puede obtener por medio de la la siguiente expresión.

P = a1·ann

donde:

  • a1 es el primer término de la progresión geométrica.
  • an es el último término de la progresión geométrica que se quiere multiplicar.
  • n es el número total de términos que se multiplican.

En general, el producto del primer y último término de una progresión geométrica es igual a la del segundo con el del penúltimo pero también igual a la del tercero y el antepenúltimo y así sucesivamente. Por tanto se cumple que:

a1·an = a2 · an-1 = a3 · an-2 = ...

Demostración

Supongamos que deseamos multiplicar los n primeros términos de una progresión geométrica cuyo primer término es a1 y su razón es r:

P=a1·a2·...·an-1·an

Observa que se cumple que:

a1·an = a2r·an-1·r = a3r2·an-2·r2 = ... a1·an = a2 · an-1 = a3 · an-2 = ...

Por tanto, podemos multiplicar dos veces P, aunque con los términos invertidos:

P=a1·a2·...·an-1·anP=an·an-1·...·a2·a1P2=a1·an·a2· an-1·...·an-1·a2·an·a1

Dado que el valor de los paréntesis es el mismo y disponemos de n paréntesis:

P2 = a1·ann P=a1·ann

Y ahora... ¡Ponte a prueba!

Ficha de ejercicios resueltos

Aquí puedes poner a prueba lo que has aprendido en este apartado.

Progresiones aritméticas

dificultad

Dadas las siguientes progresiones aritméticas determinar el primer término, el término general y la diferencia de que cada una de ellas:

  • 4, 2, 0, -2, -4, ...
  • -4, -1, 2, 5, 8, ...
  • 5, 7, 9, 11, 13, ...

Suma de los 10 primeros términos de una progresión aritmética

dificultad
Suma los diez primeros términos de una progresión aritmética en la que a1=4 y d=-1/3.

Suma de los 21 primeros términos de una progresión geométrica

dificultad
Suma los 21 primeros términos de una progresión geométrica donde a1=5 y r =-1.

Producto de los 8 primeros términos de una progresión geométrica

dificultad
Calcula el producto de los 8 primeros términos de una progresión geométrica sabiendo que a1=3 y a5 = 243/16

Suma de números pares

dificultad
¿Cuántos números pares consecutivos a partir del 4 suman 108?

Suma de los términos extremos en una progresión aritmética

dificultad
Dada una progresión aritmética con un número impar de términos cuyo elemento central es el número 34, determinar el valor de la suma de los elementos extremos.

Ficha de fórmulas

Aquí tienes un completo formulario del apartado Sucesiones. Entendiendo cada fórmula serás capaz de resolver cualquier problema que se te plantee en este nivel.

Pulsa sobre el icono   para exportarlas a cualquier programa externo compatible.

Progresión Aritmética

an=a1+n-1·d

Progresión Geométrica

an=a1·rn-1

Suma de una Progresión Aritmética

S =a1+an2·n

Suma de una Progresión Geométrica

S =a1·rn-1r-1

Producto de una Progresión Geométrica

P = a1·ann

Ficha de apartados relacionados

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