Definición de hipérbola

Una hiperbola se define como el lugar geométrico de los puntos del plano en el que la diferencia de distancias a dos puntos fijos denominados focos, F y F', es siempre constante.

Hipérbola de eje focal horizontal

Hipérbola

Las líneas azules constituyen lo que se conoce como una hipérbola. Observa sus focos F y F'. Estos puntos son muy importantes ya que la diferencia de la distancia entre cada punto P(x,y) y estos puntos es siempre constante.

Por tanto, debes tener en cuenta que para cualquier punto de la hipérbola siempre se cumple que:

dP,F-d(P,F')=2·a

Donde d(P,F) y d(P,F') es la distancia de un punto genérico P de la hipérbola al foco F y al foco F' respectivamente. Y donde 2a es una constante

Elementos de la hipérbola

En las hipérbolas podemos distinguir ciertos elementos comunes que se detallan a continuación:

  • Focos (F y F'). Puntos fijos en los que la diferencia de distancia entre ellos y cualquier punto de la hipérbola es siempre la misma.
  • Eje focal, principal o real. Recta que pasa por los focos.
  • Eje secundario o imaginario. Mediatriz del segmento que une los dos focos.
  • Centro (O). Punto de intersección de los ejes focal y secundario.
  • Semidistancia focal (c). La mitad de la distancia entre los dos focos F y F'. Su valor es c.
  • Distancia focal (2c). Distancia del segmento que une los dos focos F y F'. Su longitud es 2c.
  • Los vértices (A y A'). Puntos de la hipérbola que cortan al eje focal.
  • Semieje real (a). Segmento que va desde el origen O hasta cuaqluiera de los vertices A o A'. Su longitud es a. 
  • Semieje imaginario (b)b=c2-a2

Ecuación de la hipérbola

De manera general podemos encontrarnos dos tipos de hipérbolas, aquellas en las que el eje focal se encuentra horizontal o vertical. De este modo podemos definir dos tipos de ecuaciones.

Hipérbola de eje focal horizontal centrada en un punto P(x0,y0) cualquiera

Hipérbola de eje focal horizontal centrada en un punto P cualquiera

La ecuación de una hipérbola de eje focal horizontal viene dada por:

x-x02a2-y-y02b2=1

Donde:

  • x0 , y0 :  Coordenadas x e y del centro de la hipérbola
  • a : Semieje real 
  • : Semieje imaginario

Hipérbola de eje focal vertical centrada en un punto P(x0,y0) cualquiera

Hipérbola de eje focal vertical centrada en un punto P cualquiera

La ecuación de una hipérbola de eje focal vertical viene dada por:

y-y02a2-x-x02b2=1

Donde:

  • x0 , y0 :  Coordenadas x e y del centro de la hipérbola
  • a : Semieje real 
  • : Semieje imaginario

Casos particulares de las hipérbolas

Si las hipérbolas se encuentran centradas en el origen de coordenadas, las ecuaciones anteriores se pueden reducir considerablemente ya que x0=0 e y0=0. Teniendo en cuenta este hecho:

Hipérbola de eje focal horizontal centrada en el origen

Hipérbola de eje focal horizontal centrada en el origen

La ecuación de una hipérbola de eje focal horizontal centrada en el origen viene dada por:

x2a2-y2b2=1

Donde:

  • a : Semieje real 
  • : Semieje imaginario

Hipérbola de eje focal vertical centrada en el origen

Hipérbola de eje focal vertical centrada en el origen

La ecuación de una hipérbola de eje focal horizontal centrada en el origen viene dada por:

y2a2-x2b2=1

Donde:

  • a : Semieje real 
  • : Semieje imaginario

Excentricidad de la hipérbola

A partir de la semidistancia focal y el semieje real es posible obtener un valor númerico que nos indique como de "abierta" o "amplia" es una hipérbola. Dicho valor recibe el nombre de excentricidad.

Excentricidad de varias hipérbolas

La excentricidad e de una hipérbola es el cociente entre si semidistancia focal y su semieje real:

e=ca

Donde:

  • a : Semieje real
  • c : Semidistancia focal

Este valor siempre será mayor que 1 y cuanto mayor sea su valor más "estrecha" o "cerrada" será la hipérbola.

Asíntotas de la hipérbola

En las hipérbolas es posible dibujar dos rectas que pasan por su origen y que son tangentes a la hipérbola en el infinito.

Asíntotas de una hipérbola centrada en el origen y con eje focal horizaontal

Dada cualquier hipérbola de eje focal horizontal centrada en el origen es posible dibujar dos asíntotas cuyas ecuaciones son:

y=bax

y=-bax

Donde:

  • a : Semieje real 
  • : Semieje imaginario

Ficha de ejercicios resueltos

Aquí puedes poner a prueba lo que has aprendido en este apartado.

Determinar la ecuación de la hiperbola de eje horizontal

dificultad
Determinar la ecuación de la hipérbola centrada en el punto P(2,1) cuya distancia focal es 10 y la distancia entre sus vértices A es 8.

Cálculo de la distancia focal de una hipérbola

dificultad

Dada la siguiente ecuación de una hipérbola determinar su distancia focal.

x264-(y-1)236=1

Excentricidad de una hipérbola

dificultad

Determina la excentricidad de la hipérbola dada por la siguiente ecuación:

y225-(x-2)216=1

Asíntotas de una hipérbola

dificultad

Calcular las asíntotas de la hipérbola que viene dada por la siguiente ecuación:

x216-y281=1

Ficha de fórmulas

Aquí tienes un completo formulario del apartado Ecuación de la Hipérbola. Entendiendo cada fórmula serás capaz de resolver cualquier problema que se te plantee en este nivel.

Pulsa sobre el icono   para exportarlas a cualquier programa externo compatible.

Hipérbola de eje focal horizontal centrada en un punto P cualquiera

x-x02a2-y-y02b2=1

Hipérbola de eje focal vertical centrada en un punto P cualquiera

y-y02a2-x-x02b2=1

Excentricidad de la Hipérbola

e=ca

Asíntotas de la Hipérbola

y=baxy=-bax

Semidistancia focal de la hipérbola

c2=a2+b2

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