Ecuación de la Hipérbola
Definición de hipérbola
Una hiperbola se define como el lugar geométrico de los puntos del plano en el que la diferencia de distancias a dos puntos fijos denominados focos, F y F', es siempre constante.
![Hipérbola de eje focal horizontal](/sites/all/files/contenidos/matematicas/geoanalitica/hiperbola.png)
Hipérbola
Las líneas azules constituyen lo que se conoce como una hipérbola. Observa sus focos F y F'. Estos puntos son muy importantes ya que la diferencia de la distancia entre cada punto P(x,y) y estos puntos es siempre constante.
Por tanto, debes tener en cuenta que para cualquier punto de la hipérbola siempre se cumple que:
Donde d(P,F) y d(P,F') es la distancia de un punto genérico P de la hipérbola al foco F y al foco F' respectivamente. Y donde 2a es una constante
Elementos de la hipérbola
En las hipérbolas podemos distinguir ciertos elementos comunes que se detallan a continuación:
- Focos (F y F'). Puntos fijos en los que la diferencia de distancia entre ellos y cualquier punto de la hipérbola es siempre la misma.
- Eje focal, principal o real. Recta que pasa por los focos.
- Eje secundario o imaginario. Mediatriz del segmento que une los dos focos.
- Centro (O). Punto de intersección de los ejes focal y secundario.
- Semidistancia focal (c). La mitad de la distancia entre los dos focos F y F'. Su valor es c.
- Distancia focal (2c). Distancia del segmento que une los dos focos F y F'. Su longitud es 2c.
- Los vértices (A y A'). Puntos de la hipérbola que cortan al eje focal.
- Semieje real (a). Segmento que va desde el origen O hasta cuaqluiera de los vertices A o A'. Su longitud es a.
- Semieje imaginario (b).
Ecuación de la hipérbola
De manera general podemos encontrarnos dos tipos de hipérbolas, aquellas en las que el eje focal se encuentra horizontal o vertical. De este modo podemos definir dos tipos de ecuaciones.
Hipérbola de eje focal horizontal centrada en un punto P(x0,y0) cualquiera
![Hipérbola de eje focal horizontal centrada en un punto P cualquiera](/sites/all/files/contenidos/matematicas/geoanalitica/hiperbola-eje-focal-horizontal.png)
La ecuación de una hipérbola de eje focal horizontal viene dada por:
Donde:
- x0 , y0 : Coordenadas x e y del centro de la hipérbola
- a : Semieje real
- b : Semieje imaginario
Hipérbola de eje focal vertical centrada en un punto P(x0,y0) cualquiera
![Hipérbola de eje focal vertical centrada en un punto P cualquiera](/sites/all/files/contenidos/matematicas/geoanalitica/hiperbola-eje-focal-vertical.png)
La ecuación de una hipérbola de eje focal vertical viene dada por:
Donde:
- x0 , y0 : Coordenadas x e y del centro de la hipérbola
- a : Semieje real
- b : Semieje imaginario
Casos particulares de las hipérbolas
Si las hipérbolas se encuentran centradas en el origen de coordenadas, las ecuaciones anteriores se pueden reducir considerablemente ya que x0=0 e y0=0. Teniendo en cuenta este hecho:
Hipérbola de eje focal horizontal centrada en el origen
![Hipérbola de eje focal horizontal centrada en el origen](/sites/all/files/contenidos/matematicas/geoanalitica/hiperbola-eje-focal-horizontal-origen.png)
La ecuación de una hipérbola de eje focal horizontal centrada en el origen viene dada por:
Donde:
- a : Semieje real
- b : Semieje imaginario
Hipérbola de eje focal vertical centrada en el origen
![Hipérbola de eje focal vertical centrada en el origen](/sites/all/files/contenidos/matematicas/geoanalitica/hiperbola-eje-focal-vertical-origen.png)
La ecuación de una hipérbola de eje focal horizontal centrada en el origen viene dada por:
Donde:
- a : Semieje real
- b : Semieje imaginario
Excentricidad de la hipérbola
A partir de la semidistancia focal y el semieje real es posible obtener un valor númerico que nos indique como de "abierta" o "amplia" es una hipérbola. Dicho valor recibe el nombre de excentricidad.
![Excentricidad de varias hipérbolas](/sites/all/files/contenidos/matematicas/geoanalitica/excentricidad.png)
La excentricidad e de una hipérbola es el cociente entre si semidistancia focal y su semieje real:
Donde:
- a : Semieje real
- c : Semidistancia focal
Este valor siempre será mayor que 1 y cuanto mayor sea su valor más "estrecha" o "cerrada" será la hipérbola.
Asíntotas de la hipérbola
En las hipérbolas es posible dibujar dos rectas que pasan por su origen y que son tangentes a la hipérbola en el infinito.
![Asíntotas de una hipérbola centrada en el origen y con eje focal horizaontal](/sites/all/files/contenidos/matematicas/geoanalitica/asintotas-hiperbola.png)
Dada cualquier hipérbola de eje focal horizontal centrada en el origen es posible dibujar dos asíntotas cuyas ecuaciones son:
Donde:
- a : Semieje real
- b : Semieje imaginario
Y ahora... ¡Ponte a prueba!
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