Enunciado

dificultad
Dificultad intermedia para los ejercicios de nivel experto

Representa las funciones racionales indicadas a partir de sus expresiones anal铆ticas:

  1. fx=x2+1x2-1
  2. fx=2x3+x2-4x2-4
  3. fx=5x2x-4

Soluci贸n

Consideraciones previas

Para la representaci贸n de funciones racionales seguiremos los pasos indicados en el apartado te贸rico. Por otro lado, ya hemos realizado un ejercicio sobre la monoton铆a de estas funciones racionales, por lo que nos valdremos de esos resultados cuando sea necesario.

Finalmente, como detalle, observa que las dos primeras funciones son racionales impropias y la tercera es racional propia.

Resoluci贸n

1.-

fx=x2+1x2-1

Comenzamos calculando las as铆ntotas verticales...

x2-1=0a+ba-b=a2-b2x+1x-1=0x=1

Para ver la posici贸n de la curva respecto a ella, utilizamos l铆mites:

limx-1-x2+1x2-1=20+=+;limx-1+x2+1x2-1=20-=-limx1-x2+1x2-1=20-=-;limx1+x2+1x2-1=20+=

As铆ntotas verticales de la primera funci贸n racional

En segundo lugar, como el grado del numerador coincide con el grado del denominador, la funci贸n tendr谩 as铆ntotas horizontales. Vamos a estudiarlas a trav茅s de los l铆mites:

limx-x2+1x2-1=1;limxx2+1x2-1=1

Debemos saber si la funci贸n se aproxima a la as铆ntota por encima o por debajo. Para ello damos valores de x muy grandes, y comprobamos si los correspondientes valores de y son un poquito mayores que uno o un poquito menores. En este caso es evidente que son un poquito mayores que uno (al sumar uno en el numerador y restarlo en el denominador, el numerador siempre va a ser mayor). Podemos, as铆, ir completando el esbozo:

As铆ntotas horizontales y verticales de la primera funci贸n racional

El tercer paso consiste en buscar los puntos singulares tales que f'(x)=0. Ya lo hemos hecho en el ejercicio indicado, obtenido que x=0 f(0)=-1 es un m谩ximo.

Ya estamos en disposici贸n de hacer una representaci贸n. Saber que la funci贸n presenta simetr铆a par, f(x)=f(-x), nos ayudar谩 con la misma:

Gr谩fica de la primera funci贸n racional

2.-

fx=2x3+x2-4x2-4

Empezamos buscando las as铆ntotas verticales. Para ello hacemos 0 el denominador:

x2-4=0a2-b2=a+ba-bx+2x-2=0x1=-2x2=2

Y estudiamos la posici贸n de la curva respecto a tales puntos:

limx-2-2x3+x2-4x2-4=-160+=-;limx-2+2x3+x2-4x2-4=-160-=limx2-2x3+x2-4x2-4=160-=-;limx2+2x3+x2-4x2-4=160+=

Podemos hacer un primer esbozo:

As铆ntotas verticales de la segunda funci贸n racional

Ahora, como el grado del polinomio del numerador es exactamente uno superior al del denominador, debemos buscar las as铆ntotas obl铆culas. Para ello dividimos el polinomio del numerador entre el del denominador, y el resto es, justamente, la ecuaci贸n de la as铆ntota oblicua buscada:

Divisi贸n polin贸mica

Es decir, la recta y=2x+1 es la as铆ntota oblicua. Para evaluar la posici贸n de la curva respecto a la as铆ntota damos valores de x muy grandes y muy peque帽os, y sustituimos tanto en la funci贸n como en la as铆ntota para comprobar cu谩l queda por encima. As铆:

  • x=20, f(20)=41,4 > y20=41
  • x=-20, f(-20)=-39,4< y-20=-39

Completamos nuestro esbozo:

As铆ntotas verticales y oblicuas de la segunda funci贸n

Ahora vamos a por los puntos singulares. Ya han sido resueltos en el ejercicio relacionado, quedando:

  • x=-鈭12, f(-鈭12)=-9,39 es un m谩ximo
  • x=鈭12, f(鈭12)=11,39 es un m铆nimo
  • x=0, f(0)=1 es un punto silla

Uniendo los puntos con las ramas podemos hacer nuestra representaci贸n final.

Gr谩fica final de la segunda funcion racional

3.-

fx=5x2x-4

Comenzamos por las as铆ntotas verticales. Igualando a 0 el denominador tenemos como candidatos x=0 y x=4. Veamos como se el comportamiento de la curva respecto a ellas:

limx0-5x2x-4=50-=-;limx0+5x2x-4=50-=-limx4-5x2x-4=50-=-;limx4+5x2x-4=50+=

As铆ntotas verticales de la tercera funci贸n racional

En cuanto a la as铆ntota horizontal (grado denominador es m谩s de un grado mayor que grado numerador), nos queda:

limx-5x2x-4=0;limx5x2x-4=0

Por tanto, y=0 es una as铆ntota horizontal, tanto por la derecha como por la izquierda. Podemos ver el comportamiento de la funci贸n en valores muy grandes de x, o muy peque帽os, para concluir:

  • f(-100)<0
  • f(100)>0
As铆ntotas horizontales y verticales de la tercera funci贸n racional

Calculamos los puntos singulares. Consulta el ejercicio vinculado para detalles. Debe quedarte:

  • x=8/3, f(8/3)=-0,52 es un m谩ximo

Uniendo los puntos, podemos esbozar la gr谩fica final:

Gr谩fica final de la tercera funci贸n
Autor art铆culo
Sobre el autor
Jos茅 Luis Fern谩ndez Yag眉es es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la f铆sica, las matem谩ticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

F贸rmulas

Estas son las principales f贸rmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teor铆a de los apartados relacionados. Adem谩s, en ellos encontrar谩s, bajo la pesta帽a F贸rmulas, los c贸digos que te permitir谩n integrar estas f贸rmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

F贸rmulas
Apartados relacionados
fx=PxQx=anxn+an-1xn-1++a2x2+a1x+a0bmxm+bm-1xm-1++b2x2+b1x+b0

x=-bb2-4ac2a

limxkfx=limxk-fx=limxk+fx=
limxfx=k聽贸聽limx-fx=k
1limxfx=;2m=limxfxx;3n=limxfx-mx

Y ahora... consulta m谩s ejercicios relacionados o la teor铆a asociada si te quedaron dudas.

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