Enunciado

dificultad
Dificultad intermedia para los ejercicios de nivel experto

Estudia la curvatura de la siguiente funci贸n:

fx=x2-2x+1x2

Soluci贸n

Consideraciones previas

Estudiar la cuvatura de una funci贸n consiste en determinar los intervalos en los que la misma es c贸ncava y en cuales convexa. El estudio se realiza a partir de la segunda derivada. Consulta la teor铆a asociada a curvatura y puntos de inflexi贸n para saber m谩s, pero los pasos que debemos seguir, resumidos, son los siguientes:

  1. Determinamos el dominio de la funci贸n, para asegurarnos que los puntos obtenidos pertenecen al mismo
  2. Calculamos la derivada segunda
  3. La igualamos a 0 y despejamos los puntos candidatos, que ser谩n los puntos de inflexi贸n
  4. Elaboramos un cuadro de signos, y colocamos en dicho cuadro, sobre el dominio de la funci贸n, los candidatos a puntos de inflexi贸n obtenidos, y en cada intervalo resultante determinamos el signo de la segunda derivada
    1. En los intervalos de signo negativo, la funci贸n original es c贸ncava. En los intervalos de signo positivo, la funci贸n es convexa
    2. Aquellos candidatos a puntos de inflexi贸n en los que se produzca un cambio de curvatura son, efectivamente, puntos de inflexi贸n

驴Empezamos?

Resoluci贸n

Comenzamos con el c谩lculo de la primera derivada, aplicando la expresi贸n de la derivada del cociente de funci贸n (u/v)'=(u'路v-u路v')/v2:

fx'=2x-2x2-2xx2-2x+1x22=2x2-2xx4=2x-2x3

Volvemos a derivar para obener la segunda derivada:

f''x=2x-2x3''=2x3-3x22x-2x6=-4x3+6x2x6=-4x+6x4

Igualar a cero esta derivada es igualar a cero el numerador:

-4x+6=0x=32

Construimos un cuadro de signos, y a partir de 茅l, determinamos la concavidad o la convexidad:

-,3232,signof''+-curvaturafconvexac贸ncava

Autor art铆culo
Sobre el autor
Jos茅 Luis Fern谩ndez Yag眉es es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la f铆sica, las matem谩ticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

F贸rmulas

Estas son las principales f贸rmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teor铆a de los apartados relacionados. Adem谩s, en ellos encontrar谩s, bajo la pesta帽a F贸rmulas, los c贸digos que te permitir谩n integrar estas f贸rmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

F贸rmulas
Apartados relacionados
Dfg=f'g-fg'g2
fx=xnf'x=nxn-1n
gx=kfxg'x=kf'x
Df+g=f'+g';Df-g=f'-g'

Y ahora... consulta m谩s ejercicios relacionados o la teor铆a asociada si te quedaron dudas.

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