Curvatura en función racional

Consideraciones previas

Estudiar la cuvatura de una función consiste en determinar los intervalos en los que la misma es cóncava y en cuales convexa. El estudio se realiza a partir de la segunda derivada. Consulta la teoría asociada a curvatura y puntos de inflexión para saber más, pero los pasos que debemos seguir, resumidos, son los siguientes:

1. Determinamos el dominio de la función, para asegurarnos que los puntos obtenidos pertenecen al mismo
2. Calculamos la derivada segunda
3. La igualamos a 0 y despejamos los puntos candidatos, que serán los puntos de inflexión
4. Elaboramos un cuadro de signos, y colocamos en dicho cuadro, sobre el dominio de la función, los candidatos a puntos de inflexión obtenidos, y en cada intervalo resultante determinamos el signo de la segunda derivada
   1. En los intervalos de signo negativo, la función original es cóncava. En los intervalos de signo positivo, la función es convexa
   2. Aquellos candidatos a puntos de inflexión en los que se produzca un cambio de curvatura son, efectivamente, puntos de inflexión

¿Empezamos?

Resolución

Comenzamos con el cálculo de la primera derivada, aplicando la expresión de la derivada del cociente de función (u/v)'=(u'·v-u·v')/v²:

$$f\left(x\right)\text{'}=\frac{\left(2x-2\right)\left(x^2\right)-2x\left(x^2-2x+1\right)}{{\left(x^2\right)}^2}=\frac{2x^2-2x}{x^4}=\frac{2x-2}{x^3}$$

Volvemos a derivar para obener la segunda derivada:

$$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=\left(\frac{2x-2}{x^3}\right)\text{'}\text{'}=\frac{2·x^3-3x^2\left(2x-2\right)}{x^6}=\frac{-4x^3+6x^2}{x^6}=\frac{-4x+6}{x^4}$$

Igualar a cero esta derivada es igualar a cero el numerador:

$$-4x+6=0\Rightarrow x=\frac{3}{2}$$

Construimos un cuadro de signos, y a partir de él, determinamos la concavidad o la convexidad:

$$\begin{array}{ccc}& \left(-\infty ,\frac{3}{2}\right)& \left(\frac{3}{2},\infty \right)\\ \text{signo} f\text{'}\text{'}& +& -\\ \text{curvatura} f& \text{convexa}& \text{cóncava}\end{array}$$