Enunciado

dificultad

En cada uno de los vértices de un cuadrado de dos metro de lado se distribuyen cuatro masas de 1000 kg que podemos considerar esféricas. Determina la energía potencial gravitatoria que adquirirá una masa considerada puntual de 3 kg situada en el centro del cuadrado suponiendo que los radios de las esferas son de 0.5 m. Posteriormente determina la energía potencial que adquiriría otra masa, también puntual, de 6 kg.


Solución

Datos

  • Lados del cuadrado: l = 2 m
  • Valor de las masas: m= m= mm4 = 1000 kg
  • Radio de las masas esf√©ricas: 0.5 m
  • Masas puntuales situadas en el centro del cuadrado: ma = 3 kg ; mb = 6 kg

Consideraciones previas

  • Para determinar la energ√≠a potencial gravitatoria de ma y mb , situadas en el centro del cuadrado vamos a calcular previamente el potencial gravitatorio V en dicho punto, que no es m√°s que la energ√≠a potencial gravitatoria por unidad de masa en el citado punto. A partir de √©l, podemos calcular la energ√≠a potencial de cualquier masa m a trav√©s de la expresi√≥n:

    Ep=V·m

  • Se nos proporciona informaci√≥n de la forma geom√©trica de las masas que generan el campo. Sabemos que el potencial creado por una masa esf√©rica en el exterior de la misma coincide con el que crear√≠a una part√≠cula puntual situada en el centro de la misma. Dado que los radios de las esferas son de 0.5 m, se puede comprobar f√°cilmente que el centro del cuadrado queda en el exterior de todas las masas, con lo que podemos aplicar:

    Vi=-G·miri

    Si el centro del cuadrado quedase en el interior de alguna de las esferas no podríamos aplicar esta expresión para el cálculo del potencial asociado

Resolución

El potencial total en el centro del cuadrado ser√° la suma de los potenciales que generan cada una de las masas:

V=V1+V2+V3+V4

La distancia r al centro del cuadrado es la misma en todos los casos y se puede calcular seg√ļn el teorema de Pit√°goras:

r2=12+12r=2 m

cuatro masas sobre los vértices de un cuadrado de lado 2 metros

Teniendo en cuenta que también las masas de las partículas son iguales, podemos escribir:

V=V1+V2+V3+V4=-G·m1r1-G·m2r2-G·m3r3-G·m4r4=-4·G·m1r1==-4·6.67·10-11·10002=-4.7·10-8J/kg

A partir del potencial es inmediato calcular la energía potencial gravitatoria que adquieren las masas pedidas. Para la masa de 3 kg:

Ep=V·m=-4.7·10-8·3=-1.41·10-7J

Para el caso de la masa de 6 kg:

Ep=V·m=-4.7·10-8·6=-2.82·10-7J

Ficha de fórmulas

Estas son las principales f√≥rmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teor√≠a de los apartados relacionados. Adem√°s, en ellos encontrar√°s, bajo la pesta√Īa F√≥rmulas, los c√≥digos que te permitir√°n integrar estas f√≥rmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
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