Enunciado

dificultad

Determina los límites indicados, a partir de las gráficas de las funciones correspondientes. Cuando sea relevante, indica también el valor de los límites laterales: 

Funciones para hallar límites gráficamente
Función 1 Función 2
  • limx-fx
  • limx-5fx
  • limx-3fx
  • limx-2fx
  • limx0fx
  • limx2fx
  • limx3fx
  • limxfx
  • limx-fx
  • limx-4fx
  • limx-2fx
  • limx0fx
  • limx2fx
  • limxfx

Solución

Consideraciones previas

Recuerda que limxafx=L significa que L es el valor al que se aproxima f(x), es decir, el valor al que se aproxima la y de la función, cuando la x se aproxima a a. Representa las definiciones de límites en un punto y en el infinito si tienes dudas al respecto.

Por otro lado, observa en la leyenda de ambas gráficas que cada cuadro de la cuadrícula mide una unidad horizontal por una dimensión vertical.

Resolución

Función 1

En primer lugar, vemos que la función se va a menos infinito en la parte izquierda de la gráfica, por tanto:

limx-fx=- 

Siguiendo con lo que ocurre cuando nos aproximamos a -5, vemos que no hay función más que por la derecha, con lo que:

limx-5fx ya que limx-5-fxlimx-5+fx=2

Continuado, vemos que no existe f(-3), aunque sí está definido su entorno, y con igual valor, tanto por la izquierda como por la derecha. Por tanto:

limx-3fx=1

En x=-2 la función no está definida, pero si en su entorno, apareciendo una asíntota vertical al irse la función a menos infinito en ambos laterales, así pues:

limx-2-fx=limx-2+fx=-limx-2fx=-

Cuando nos aproximamos a x=0, la función es continua, y no presenta ninguna particularidad adicional, los límites laterales son iguales, y por tanto:

limx0fx=2

En el caso de x=2, el comportamiento por la izquierda, por la derecha, y en el propio punto es diferente. Observa:

limx2-fx=2f2=1limx2-fxlimx2fx

Para el siguiente caso que nos ocupa, x=3, el límite solo existe por la derecha:

limx3-fxlimx3+fx=-2limx3fx

Por último, cuando x crece indefinidamente, la función se aproxima a -1 (se trata de una asíntota horizontal). Es decir:

limxfx=-1

Función 2

En este caso, la función presenta una asíntota horizontal según el primer límite pedido, ya que a medida que la x se hace más negativa, la función se aproxima a un valor concreto: y=-1

limx-fx=-1

Cuando nos aproximamos a -4, hay un comportamiento diferente por la izquierda que por la derecha, por lo que no existe el límite pedido:

limx-4-fx=f-4=-2limx-4+fx=0limx-4fx

Cuando nos aproximamos a -2, la función también tiene un comportamiento diferente por la izquierda y por la derecha. Por tanto, estrictamente hablando, tampoco existe el límite pedido:

limx-2-fx=-limx-2+fx=+limx-2fx

Sin embargo, la función se aleja indefinidamente del eje y=0 a medida que se aproxima a la asíntota vertical (decimos "la función diverge"), independientemente de que lo haga hacia más infinito o hacia menos infinito. Por eso es habitual decir que:

limx-2fx=

Los siguientes dos límites no presentan ninguna particularidad que no hayamos contemplado ya. Así:

limx0fx=-2

limx2-fx=f2=1limx2+fx=-1limx2fx

Finalmente, no existe el límite cuando x tiende a infinito. La razón es que esta termina con un punto rojo en f(6)=2, indicando así que es el último punto en que se encuentra definida.

Ficha de fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados
limxa+fx=-k<0, δ>0 | xDomf , a<x<a+δfx<k
limx-fx=Lε>0, h|Si x<hfx-L<ε
limxa-fx=k>0, δ>0 | xDomf , a-δ<x<afx>k
limxa+fx=Lε>0, δ>0 | xDomf , a<x<a+δ|fx-L|<ε
limxfx=k, h|Si x>hfx>k
limxa-fx=-k<0, δ>0 | xDomf , a-δ<x<afx<k
limx-fx=k, h|Si x<hfx>k
limxa-fx=Lε>0, δ>0 | xDomf , a-δ<x<a|fx-L|<ε
limxafx=Lε>0, δ>0 |xDomf , 0<x-a<δfx-L<ε
limxfx=-k, h|Si x>hfx<k
limxa+fx=k>0, δ>0 | xDomf , a<x<a+δfx>k
limxfx=Lε>0, h|Si x>hfx-L<ε