Enunciado

dificultad
Dificultad intermedia para los ejercicios de nivel avanzado

Sabiendo que cuando x‚Üí2, f(x)‚Üí4, g(x)‚Üí0 y h(x)‚Üí‚ąě, di el valor de los siguientes l√≠mites cuando sea posible:

  1. limx‚Üí2fx+gx
  2. limx‚Üí2fx-gx
  3. limx‚Üí2hx+gx
  4. limx‚Üí2hx-hx
  5. limx→2fx·gx
  6. limx→2hx·gx
  7. limx‚Üí2fx/gx
  8. limx‚Üí2gx/fx
  9. limx‚Üí2gx-1
  10. limx‚Üí2fxgx
  11. limx‚Üí2hxgx
  12. limx‚Üí23-hx
  13. limx‚Üí2hx-hx
  14. limx‚Üí2fx
  15. limx‚Üí2log4fx

Solución

Consideraciones previas

Utilizaremos las f√≥rmulas que puedes consultar en la pesta√Īa adjunta, todas ellas son facilmente recordables facilmente enunci√°ndolas en la forma "el l√≠mite de la suma¬†(o cualquier otra operaci√≥n) es la suma de los l√≠mites". Si necesitas m√°s informaci√≥n, consulta la teor√≠a asociada.

Por otro lado, del propio enunciado tenemos que:

limx‚Üí2fx=4¬†;‚ÄČlimx‚Üí2gx=0¬†;‚ÄČlimx‚Üí2hx=‚ąě

Resolución

1.-

limx‚Üí2fx+gx

limx‚Üí2fx+gx=limx‚Üí2fx+limx‚Üí2gx=4+0=4

2.-

limx‚Üí2fx-gx

limx‚Üí2fx-gx=limx‚Üí2fx-limx‚Üí2gx=4-0=4

3.-

limx‚Üí2hx+gx

limx‚Üí2hx+gx=limx‚Üí2hx+limx‚Üí2gx=‚ąě+0=‚ąě

4.-

limx‚Üí2hx-hx

En este caso podríamos estar tentados, como hasta ahora, de sustituir directamente, pero llegaríamos a una indeterminación:

limx‚Üí2hx-hx=limx‚Üí2hx-limx‚Üí2hx=‚ąě-‚ąě¬†IND.

Sin embargo, una función a la que restamos la propia función es cero, con lo que:

limx‚Üí2hx-hx=limx‚Üí20=0

5.-

limx→2fx·gx

limx→2fx·gx=limx→2fx·limx→2gx=4·0=0

6.-

limx→2hx·gx

limx‚Üí2hx¬∑gx=limx‚Üí2hx¬∑limx‚Üí2gx=‚ąě¬∑0¬†IND.

Además, nos faltan datos para la resolución de la indeterminación.

7.-

limx‚Üí2fx/gx

limx‚Üí2fx/gx=limx‚Üí2fxlimx‚Üí2gx=40IND

Nos faltan datos para profundizar en la resolución de la indeterminación, pero sabemos que, en cualquier caso, la función diverge, por lo que podemos escribir:

limx‚Üí2fx/gx=‚ąě

8.-

limx‚Üí2gx/fx

limx‚Üí2gx/fx=limx‚Üí2gxlimx‚Üí2fx=04=0

9.-

limx‚Üí2gx-1

limx→2gx-1=limx→21gx=1limx→2gx=10 IND.

Ocurre lo mismo que antes, por lo que podemos escribir:

limx‚Üí2gx-1=10=‚ąě

10.-

limx‚Üí2fxgx

limx‚Üí2fxgx=limx‚Üí2fxlimx‚Üí2gx=40=1

11.-

limx‚Üí2hxgx

limx‚Üí2hxgx=limx‚Üí2hxlimx‚Üí2gx=‚ąě0¬†IND.

Como no tenemos datos adicionales, tampoco podemos resolver esa indeterminación.

12.-

limx‚Üí23-hx

limx‚Üí23-hx=limx‚Üí23limx‚Üí2-hx=3-‚ąě=13‚ąě=0

13.-

limx‚Üí2hx-hx

limx‚Üí2hx-hx=limx‚Üí2hxlimx‚Üí2-hx=limx‚Üí2hx-limx‚Üí2hx=‚ąě-‚ąě=1‚ąě‚ąě=0

14.-

limx‚Üí2fx

En este caso se trata de una función compuesta (raíz de x y f(x)) :

limx‚Üí2fx=limx‚Üí2fx=4=2

15.-

limx‚Üí2log4fx

De nuevo, composición de funciones, con lo que:

limx‚Üí2log4fx=log4limx‚Üí2fx=log44=logaa=11

Autor artículo
Sobre el autor
Jos√© Luis Fern√°ndez Yag√ľes es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la f√≠sica, las matem√°ticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

Fórmulas

Estas son las principales f√≥rmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teor√≠a de los apartados relacionados. Adem√°s, en ellos encontrar√°s, bajo la pesta√Īa F√≥rmulas, los c√≥digos que te permitir√°n integrar estas f√≥rmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
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