Límites de cocientes

Consideraciones previas

Para resolver estos límites aplicaremos el procedimiento general, consistente en sustituir la x por el valor al que se aproxima. En caso de obtener una indeterminación, aplicaremos las distintas técnicas vistas en el apartado de indeterminaciones. Si tienes dudas, consulta la teoría asociada al cálculo del límite de funciones en el infinito o en un punto.

Resolución

1.-

$$\boxed{\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x^3+4}{x+3}-\frac{5x^3-x}{x-3}}$$

En ambos cocientes el grado del polinomio del numerador es mayor que el del denominador, con lo que ambos cocientes tienden a infinito:

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x^3+4}{x+3}-\frac{5x^3-x}{x-3}=\left[\infty -\infty \right] \text{IND.}$$

Operando nos queda:

$$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x^3+4}{x+3}-\frac{5x^3-x}{x-3}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \left(2x^3+4\right)·\left(x-3\right)-\left(5x^3-x\right)·\left(x+3\right)}}{{\displaystyle \left(x+3\right)·\left(x-3\right)}}\underset{\left(a+b\right)·\left(a-b\right)=a^2-b^2}{=}\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle 2x^4-5x^4+\dots }}{{\displaystyle x^2-9}}= \\ =\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle -3x^4+\dots }}{{\displaystyle x^2-9}}=-\infty \end{gathered}$$

Observa que, en la multiplicación del numerador sólo nos interesan los términos de mayor grado, pues serán estos los que determinarán el grado del infinito del numerador.

2.-

$$\boxed{\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^5+4}{3x^4+2}-\frac{x}{3}}$$

En este caso conviene comenzar haciendo un cambio de variable, $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(-x\right)$, con lo que nos queda:

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^5+4}{3x^4+2}-\frac{x}{3}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle -x^5+4}}{{\displaystyle 3x^4+2}}+\frac{{\displaystyle x}}{{\displaystyle 3}}=\left[-\infty +\infty \right] \text{IND.}$$

Operando obtenemos:

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^5+4}{3x^4+2}-\frac{x}{3}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle -x^5+4}}{{\displaystyle 3x^4+2}}+\frac{{\displaystyle x}}{{\displaystyle 3}}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle -3x^5+12+\left(3x^4+2\right)·x}}{{\displaystyle 3·\left(3x^4+2\right)}}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle -3x^5+3x^5+2x+12}}{{\displaystyle 3·\left(3x^4+2\right)}}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle +2x+12}}{{\displaystyle 3·\left(3x^4+2\right)}}=0$$

3.-

$$\boxed{\underset{x\to -3}{\lim }\frac{x^3+x^2-9x-9}{2x^2+2x-12}}$$

$$\underset{x\to -3}{\lim }\frac{x^3+x^2-9x-9}{2x^2+2x-12}=\left[\frac{0}{0}\right] \text{IND.}$$

Factorizamos numerador y denominador. Para factorizar el polinomio de grado 3 en el numerador recurrimos a Ruffini, y para el grado 2 resolvemos una ecuación de segundo grado:

$$\begin{gathered} x^3+x^2-9x-9=0 \\ \begin{array}{ccccc}& 1& 1& -9& -9\\ -1& & -1& 0& 9\\ & 1& 0& -9& 0\end{array}\Rightarrow x^3+x^2-9x-9=\left(x+1\right)·\left(x^2-9\right)=0 \end{gathered}$$

x²-9 es una diferencia de cuadrados, con lo que proviene de una suma por diferencia (x+3)·(x-3). Volviendo a nuestras factorizaciones:

$$\begin{gathered} 2x^2+2x-12=0 \\ x=\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·2·\left(-12\right)}}{2·2}=\frac{-2\pm \sqrt{100}}{4}=\left\{\begin{array}{l}{x}_1=-3\\ x_2=2\end{array}\right. \\ 2x^2+2x-12=2·\left(x+3\right)·\left(x-2\right) \end{gathered}$$

Volviendo a la resolución del límite:

$$\underset{x\to -3}{\lim }\frac{x^3+x^2-9x-9}{2x^2+2x-12}=\underset{x\to -3}{\lim }\frac{{\displaystyle \left(x+1\right)·\cancel{\left(x+3\right)}·\left(x-3\right)}}{{\displaystyle 2·\cancel{\left(x+3\right)}·\left(x-2\right)}}=\underset{x\to -3}{\lim }\frac{{\displaystyle \left(x+1\right)·\left(x-3\right)}}{{\displaystyle 2·\left(x-2\right)}}=\frac{-2·\left(-6\right)}{-10}=\frac{6}{5}$$

4.-

$$\boxed{\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt[8]{-x^3+x}}{\sqrt[4]{x^2+x-2}}}$$

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt[8]{-x^3+x}}{\sqrt[4]{x^2+x-2}}=\left[\frac{0}{0}\right]\text{IND.}$$

Comenzamos reduciendo la raíz a índice común, a partir de la regla $\frac{\sqrt[a]{P\left(x\right)}}{\sqrt[b]{Q\left(x\right)}}=\sqrt[m.c.m\left(a,b\right)]{\frac{P(x{)}^b}{Q(x{)}^a}}$, con lo que nos queda:

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt[8]{-x^3+x}}{\sqrt[4]{x^2+x-2}}=\underset{x\to 1}{\lim }\sqrt[8]{\frac{{\displaystyle -x^3+x}}{{\displaystyle {\left(x^2+x-2\right)}^2}}}$$

Ahora nos toca factorizar:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt[8]{-x^3+x}}{\sqrt[4]{x^2+x-2}}=\underset{x\to 1}{\lim }\sqrt[8]{\frac{{\displaystyle -x^3+x}}{{\displaystyle {\left(x^2+x-2\right)}^2}}}=\underset{x\to 1}{\lim }\sqrt[8]{\frac{{\displaystyle x·\left(1-x^2\right)}}{{\displaystyle {\left(x^2+x-2\right)}^2}}}\underset{x^2+x-2=\left(x+2\right)·\left(x-1\right)}{=}\underset{x\to 1}{\lim }\sqrt[8]{\frac{{\displaystyle x·\left(1+x\right)·\left(1-x\right)}}{{\displaystyle {\left(x+2\right)}^2·{\left(x-1\right)}^2}}}= \\ =\underset{x\to 1}{\lim }\sqrt[8]{\frac{{\displaystyle -x·\left(1+x\right)·\cancel{\left(x-1\right)}}}{{\displaystyle {\left(x+2\right)}^2·\left(x-1\right)\cancel{{}^2}}}}=\sqrt[8]{\frac{{\displaystyle -2·}}{{\displaystyle 9·0}}}=\sqrt[8]{\left[\frac{{\displaystyle -2·}}{{\displaystyle 0}}\right]}\text{IND.} \end{gathered}$$

Nos toca resolver límites laterales:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{\sqrt[8]{-x^3+x}}{\sqrt[4]{x^2+x-2}}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\sqrt[8]{\frac{{\displaystyle -x^3+x}}{{\displaystyle {\left(x^2+x-2\right)}^2}}}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\sqrt[8]{\frac{{\displaystyle -x·\left(1+x\right)}}{{\displaystyle {\left(x+2\right)}^2·\left(x-1\right)}}}=\sqrt[8]{\frac{{\displaystyle -2·}}{{\displaystyle 0^{-}}}}=\sqrt[8]{\infty }=\infty \\ \underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{{\displaystyle \sqrt[8]{-x^3+x}}}{{\displaystyle \sqrt[4]{x^2+x-2}}}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\sqrt[8]{\frac{{\displaystyle -x^3+x}}{{\displaystyle {\left(x^2+x-2\right)}^2}}}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\sqrt[8]{\frac{{\displaystyle -x·\left(1+x\right)}}{{\displaystyle {\left(x+2\right)}^2·\left(x-1\right)}}}=\sqrt[8]{\frac{{\displaystyle -2·}}{{\displaystyle 0^{+}}}}\Rightarrow \nexists \left[\sqrt[8]{-\infty }\right] \end{gathered}$$

Con lo que no existe el límite, pues solo existe por la izquierda:

$$\nexists \underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt[8]{-x^3+x}}{\sqrt[4]{x^2+x-2}}$$

5.-

$$\boxed{\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2-5x+3}{x^2+3x}-\frac{x^3+2x+4}{x^3+4x}}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2-5x+3}{x^2+3x}-\frac{x^3+2x+4}{x^3+4x}=\frac{3}{0}-\frac{4}{0}=\left[\infty -\infty \right] \text{IND.}$$

Operamos para intentar resolver la indeterminación:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2-5x+3}{\underset{x·\left(x+3\right)}{\underbrace{x^2+3x}}}-\frac{x^3+2x+4}{\underset{x·\left(x^2+4\right)}{\underbrace{x^3+4x}}}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle \left(x^2-5x+3\right)·\left(x^2+4\right)-\left[\left(x^3+2x+4\right)·\left(x+3\right)\right]}}{{\displaystyle x·\left(x+3\right)·\left(x^2+4\right)}}= \\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle x^4-5x^3+3x^2+4x^2-20x+12-\left[x^4+2x^2+4x+3x^3+6x+12\right]}}{{\displaystyle x·\left(x+3\right)·\left(x^2+4\right)}}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle -8x^3+5x^2-30x}}{{\displaystyle x·\left(x+3\right)·\left(x^2+4\right)}}= \\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle \cancel{x}·\left(-8x^2+5x-30\right)}}{{\displaystyle \cancel{x}·\left(x+3\right)·\left(x^2+4\right)}}=\frac{-30}{12}=-15/6 \end{gathered}$$

6.-

$$\boxed{\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{3^x}{10x^5-2}}$$

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{3^x}{10x^5-2}=\frac{{\displaystyle 3^{\infty }}}{{\displaystyle 10{\infty }^5-2}}=\left[\frac{\infty }{\infty }\right] \text{IND.}$$

Comparando infinitos, vemos que el grado del infinito del numerador es mayor, al ser una exponencial, quedando:

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{3^x}{10x^5-2}=\infty$$

7.-

$$\boxed{\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{x+2}-2}{\sqrt{x+7}-3}}$$

$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{x+2}-2}{\sqrt{x+7}-3}=\left[\frac{0}{0}\right] \text{IND.}$$

Podemos resolver esta indeterminación multiplicando numerador y denominador por el conjugado de cada uno

$$\begin{gathered} \underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{x+2}-2}{\sqrt{x+7}-3}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{{\displaystyle \left(\sqrt{x+2}-2\right)·\left(\sqrt{x+2}+2\right)·\left(\sqrt{x+7}+3\right)}}{{\displaystyle \left(\sqrt{x+7}-3\right)·\left(\sqrt{x+2}+2\right)·\left(\sqrt{x+7}+3\right)}}\underset{\left(a+b\right)·\left(a-b\right)=a^2-b^2}{=} \\ =\underset{x\to 2}{\lim }\frac{{\displaystyle \left(x+2-4\right)·\left(\sqrt{x+7}+3\right)}}{{\displaystyle \left(x+7-9\right)·\left(\sqrt{x+2}+2\right)}}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{{\displaystyle \cancel{\left(x-2\right)}·\left(\sqrt{x+7}+3\right)}}{{\displaystyle \cancel{\left(x-2\right)}·\left(\sqrt{x+2}+2\right)}}=\frac{6}{4} \end{gathered}$$

8.-

$$\boxed{\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{4+x}-\sqrt{4-x}}{2x}}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{4+x}-\sqrt{4-x}}{2x}=\left[\frac{0}{0}\right] \text{IND.}$$

Multiplicando numerador y denominador por el conjugado del numerador, nos queda:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{4+x}-\sqrt{4-x}}{2x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle \left(\sqrt{4+x}-\sqrt{4-x}\right)·\left(\sqrt{4+x}+\sqrt{4-x}\right)}}{{\displaystyle 2x·\left(\sqrt{4+x}+\sqrt{4-x}\right)}}\underset{\left(a+b\right)·\left(a-b\right)=a^2-b^2}{=} \\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle 4+x-\left(4-x\right)}}{{\displaystyle 2x·\left(\sqrt{4+x}+\sqrt{4-x}\right)}}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle 4+x-\left(4-x\right)}}{{\displaystyle 2x·\left(\sqrt{4+x}+\sqrt{4-x}\right)}}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle \cancel{2x}}}{{\displaystyle \cancel{2x}\left(\sqrt{4+x}+\sqrt{4-x}\right)}}=\frac{1}{4} \end{gathered}$$

9.-

$$\boxed{\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x}{3-x^2}·\frac{2x+5x^2}{3x+2}}$$

Haciendo comparación de infinitos en cada cociente, nos queda:

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x}{3-x^2}·\frac{2x+5x^2}{3x+2}=\left[0·\infty \right] \text{IND.}$$

Operamos para tratar de resolver esta indeterminación:

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x}{3-x^2}·\frac{2x+5x^2}{3x+2}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle 2x·\left(2x+5x^2\right)}}{{\displaystyle \left(3-x^2\right)·\left(3x-2\right)}}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle 4x^2+\mathbf{10}{\mathit{x}}^{\mathbf{3}}}}{{\displaystyle 9x-6\mathbf{-}\mathbf{3}{\mathit{x}}^{\mathbf{3}}+2x^2}}=-\frac{10}{3}$$

10.-

$$\boxed{\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{4x^2+2}}{9x}}$$

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{4x^2+2}}{9x}=\left[\frac{\infty }{\infty }\right] \text{IND.}$$

Reducimos a raíz común el cociente:

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{4x^2+2}}{9x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\sqrt{\frac{{\displaystyle 4x^2+2}}{{\displaystyle {\left(9x\right)}^2}}}=\underset{x\to \infty }{\lim }\sqrt{\frac{{\displaystyle \mathbf{4}{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}+2}}{{\displaystyle \mathbf{81}{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}}}}=\frac{2}{9}$$

11.-

$$\boxed{\underset{x\to 4}{\lim }\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x-2\sqrt{x}}}}$$

$$\underset{x\to 4}{\lim }\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x-2\sqrt{x}}}=\left[\frac{{\displaystyle 0}}{0}\right] \text{IND.}$$

Resolvemos multiplicando numerador y denominador por el conjugado de cada uno:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 4}{\lim }\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x-2\sqrt{x}}}=\underset{x\to 4}{\lim }\frac{{\displaystyle \left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x+2\sqrt{x}}\right)}}{{\displaystyle \left(\sqrt{x-2\sqrt{x}}\right)\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x+2\sqrt{x}}\right)}}=\underset{x\to 4}{\lim }\frac{{\displaystyle \left(x-4\right)·\sqrt{x+2\sqrt{x}}}}{{\displaystyle \sqrt{x^2-4x}\left(\sqrt{x}+2\right)}}= \\ =\underset{x\to 4}{\lim }\frac{{\displaystyle \sqrt{{\left(x-4\right)}^2·\left(x+2\sqrt{x}\right)}}}{{\displaystyle \sqrt{\left(x^2-4x\right)·{\left(\sqrt{x}+2\right)}^2}}}=\underset{x\to 4}{\lim }\frac{{\displaystyle \sqrt{{\left(x-4\right)}^{\cancel{2}}·\left(x+2\sqrt{x}\right)}}}{{\displaystyle \sqrt{x·\cancel{\left(x-4\right)}·{\left(\sqrt{x}+2\right)}^2}}}=0 \end{gathered}$$