Enunciado

dificultad

Resuelve los siguientes límites. Cuando sea necesario, resuelve las indeterminaciones que obtengas:

  1. limx2x3+4x+3-5x3-xx-3
  2. limx-x5+43x4+2-x3
  3. limx-3x3+x2-9x-92x2+2x-12
  4. limx1-x3+x8x2+x-24
  5. limx0x2-5x+3x2+3x-x3+2x+4x3+4x
  6. limx3x10x5-2
  7. limx2x+2-2x+7-3
  8. limx04+x-4-x2x
  9. limx2x3-x2·2x+5x23x+2
  10. limx4x2+29x
  11. limx4x-2x-2x

Solución

Consideraciones previas

Para resolver estos límites aplicaremos el procedimiento general, consistente en sustituir la x por el valor al que se aproxima. En caso de obtener una indeterminación, aplicaremos las distintas técnicas vistas en el apartado de indeterminaciones. Si tienes dudas, consulta la teoría asociada al cálculo del límite de funciones en el infinito o en un punto.

Resolución

1.-

limx2x3+4x+3-5x3-xx-3

En ambos cocientes el grado del polinomio del numerador es mayor que el del denominador, con lo que ambos cocientes tienden a infinito:

limx2x3+4x+3-5x3-xx-3=- IND.

Operando nos queda:

limx2x3+4x+3-5x3-xx-3=limx2x3+4·x-3-5x3-x·x+3x+3·x-3=a+b·a-b=a2-b2limx2x4-5x4+x2-9==limx-3x4+x2-9=-

Observa que, en la multiplicación del numerador sólo nos interesan los términos de mayor grado, pues serán estos los que determinarán el grado del infinito del numerador.

2.-

limx-x5+43x4+2-x3

En este caso conviene comenzar haciendo un cambio de variable, limx-fx=limxf-x, con lo que nos queda:

limx-x5+43x4+2-x3=limx-x5+43x4+2+x3=-+ IND.

Operando obtenemos:

limx-x5+43x4+2-x3=limx-x5+43x4+2+x3=limx-3x5+12+3x4+2·x3·3x4+2=limx-3x5+3x5+2x+123·3x4+2=limx+2x+123·3x4+2=0

3.-

limx-3x3+x2-9x-92x2+2x-12

limx-3x3+x2-9x-92x2+2x-12=00 IND.

Factorizamos numerador y denominador. Para factorizar el polinomio de grado 3 en el numerador recurrimos a Ruffini, y para el grado 2 resolvemos una ecuación de segundo grado:

x3+x2-9x-9=011-9-9-1-10910-90x3+x2-9x-9=x+1·x2-9=0

x2-9 es una diferencia de cuadrados, con lo que proviene de una suma por diferencia (x+3)·(x-3). Volviendo a nuestras factorizaciones:

2x2+2x-12=0x=-2±22-4·2·-122·2=-2±1004=x1=-3x2=22x2+2x-12=2·x+3·x-2

Volviendo a la resolución del límite:

limx-3x3+x2-9x-92x2+2x-12=limx-3x+1·x+3·x-32·x+3·x-2=limx-3x+1·x-32·x-2=-2·-6-10=65

4.-

limx1-x3+x8x2+x-24

limx1-x3+x8x2+x-24=00IND.

Comenzamos reduciendo la raíz a índice común, a partir de la regla P(x)aQ(x)b=P(x)bQ(x)am.c.ma,b, con lo que nos queda:

limx1-x3+x8x2+x-24=limx1-x3+xx2+x-228

Ahora nos toca factorizar:

limx1-x3+x8x2+x-24=limx1-x3+xx2+x-228=limx1x·1-x2x2+x-228=x2+x-2=x+2·x-1limx1x·1+x·1-xx+22·x-128==limx1-x·1+x·x-1x+22·x-128=-2·9·08=-2·08IND.

Nos toca resolver límites laterales:

limx1--x3+x8x2+x-24=limx1--x3+xx2+x-228=limx1--x·1+xx+22·x-18=-2·0-8=8=limx1+-x3+x8x2+x-24=limx1+-x3+xx2+x-228=limx1+-x·1+xx+22·x-18=-2·0+8-8

Con lo que no existe el límite, pues solo existe por la izquierda:

limx1-x3+x8x2+x-24

5.-

limx0x2-5x+3x2+3x-x3+2x+4x3+4x

limx0x2-5x+3x2+3x-x3+2x+4x3+4x=30-40=- IND.

Operamos para intentar resolver la indeterminación:

limx0x2-5x+3x2+3xx·x+3-x3+2x+4x3+4xx·x2+4=limx0x2-5x+3·x2+4-x3+2x+4·x+3x·x+3·x2+4==limx0x4-5x3+3x2+4x2-20x+12-x4+2x2+4x+3x3+6x+12x·x+3·x2+4=limx0-8x3+5x2-30xx·x+3·x2+4==limx0x·-8x2+5x-30x·x+3·x2+4=-3012=-15/6

6.-

limx3x10x5-2

limx3x10x5-2=3105-2= IND.

Comparando infinitos, vemos que el grado del infinito del numerador es mayor, al ser una exponencial, quedando:

limx3x10x5-2=

7.-

limx2x+2-2x+7-3

limx2x+2-2x+7-3=00 IND.

Podemos resolver esta indeterminación multiplicando numerador y denominador por el conjugado de cada uno

limx2x+2-2x+7-3=limx2x+2-2·x+2+2·x+7+3x+7-3·x+2+2·x+7+3=a+b·a-b=a2-b2=limx2x+2-4·x+7+3x+7-9·x+2+2=limx2x-2·x+7+3x-2·x+2+2=64

8.-

limx04+x-4-x2x

limx04+x-4-x2x=00 IND.

Multiplicando numerador y denominador por el conjugado del numerador, nos queda:

limx04+x-4-x2x=limx04+x-4-x·4+x+4-x2x·4+x+4-x=a+b·a-b=a2-b2=limx04+x-4-x2x·4+x+4-x=limx04+x-4-x2x·4+x+4-x=limx02x2x4+x+4-x=14

9.-

limx2x3-x2·2x+5x23x+2

Haciendo comparación de infinitos en cada cociente, nos queda:

limx2x3-x2·2x+5x23x+2=0· IND.

Operamos para tratar de resolver esta indeterminación:

limx2x3-x2·2x+5x23x+2=limx2x·2x+5x23-x2·3x-2=limx4x2+10x39x-6-3x3+2x2=-103

10.-

limx4x2+29x

limx4x2+29x= IND.

Reducimos a raíz común el cociente:

limx4x2+29x=limx4x2+29x2=limx4x2+281x2=29

11.-

limx4x-2x-2x

limx4x-2x-2x=00 IND.

Resolvemos multiplicando numerador y denominador por el conjugado de cada uno:

limx4x-2x-2x=limx4x-2x+2x+2xx-2xx+2x+2x=limx4x-4·x+2xx2-4xx+2==limx4x-42·x+2xx2-4x·x+22=limx4x-42·x+2xx·x-4·x+22=0

Ficha de fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados
k±=±±+=±±·k=± Si k>0±·k= Si k<0·±=±-·±=k±=0 0=k0=
limxfxg(x)=±limxgxf(x)=0Orden f > Orden g