Enunciado

dificultad

Calcula, cuando sea posible, los siguientes límites:

  1. limx1+13xx
  2. limx1-13x2x
  3. limx3x2+x-13x2-22x+1
  4. limx7x2-7x+2x-5x+2x-7
  5. limx23+x2-x3x2+2x2+x21+x
  6. limx1-x+11-x2-x
  7. limxπ/21+cosx3·secx
  8. limx-x4+x3-x2+3x3-x3+xx2x2-3x

Solución

Consideraciones previas

Los límites de este ejercicio dan lugar a indeterminaciones del tipo 1. Para resolverlas es muy importante que recuerdes que:

limalgo1+1algoalgo=e

Así, trataremos de hacer las transformaciones necesarias para llegar a una expresión en la que podamos usar la igualdad anterior. Si lo deseas, puedes aplicar directamente la siguiente relación, aunque te recomendamos que sigas el procedimiento de manera razonada:

lim fxgx=elim fx-1·gx

Resolución

1.-

limx1+13xx

limx1+13xx=1 IND.limx1+13xx=limx1+13xx·3·13=e13

2.-

limx1-13x2x

limx1-13x2x=1 IND.limx1-13x2x=limx1+1-3x2x·-3·1-3=limx1+1-3x-3x·-23e-23=1e23=1e23

3.-

limx3x2+x-13x2-22x+1

limx3x2+x-13x2-22x+1=Por comparación de infinitos=33=1 IND.limx3x2+x-13x2-22x+1=limx1+3x2+x-13x2-2-12x+1=limx1+3x2+x-1-3x2-23x2-22x+1==limx1+x+13x2-22x+1=limx1+13x2-2x+13x2-2x+1·x+13x2-2·2x+1=elimxx+13x2-2·2x+1=elimx2x2+3x2-2=Por comparación de infinitose23=e23

4.-

limx7x2-7x+2x-5x+2x-7

limx7x2-7x+2x-5x+2x-7=1 IND.limx71+x2-7x+2x-5-1x+2x-7=limx71+x2-7x+2-x-5x-5x+2x-7=limx71+1x-5x2-8x+7x-5x2-8x+7·x2-8x+7x-5·x+2x-7==elimx7x2-8x+7x-7·x-1x-5·x+2x-7=e542=e27

5.-

limx23+x2-x3x2+2x2+x21+x

limx23+x2-x3x2+2x2+x21+x=1 IND.limx23+x2-x3x2+2x2+x21+x=limx23+13+x2-x3x2+2x-132+x21+x=limx1+-53x3x2+2x2+x21+x==limx1+13x2+2x-53x3x2+2x-53x·-53x3x2+2x·2+x21+x=elimx-53x3x2+2x·2+x21+x=elimx-53x3+3x3+=Por comparación de infinitose-5/9=1e59

6.-

limx1-x+11-x2-x

limx1-x+11-x2-x=1 IND.limx1-x+11-x2-x=limx1+-x+11-x2-x=limx1+11-x2-x+11-x2-x+1·-x+121-x2·-x==elimx-x+121-x2·-x=Por comparación de infinitose

7.-

limxπ/21+cosx3·secx

limxπ/21+cosx3·secx=limxπ/21+cosx3·1cosx=1 IND.limxπ/21+cosx3·1cosx=limxπ/21+11cosx3·1cosx=e3

8.-

limx-x4+x3-x2+3x3-x3+xx2x2-3x

En este caso debemos comenzar por el cambio de variable:

limx-x4+x3-x2+3x3-x3+xx2x2-3x=limx-x4-x3-x2+3x3+x3+xx23-x2x

Ahora ya estamos en disposición de hacer las sustituciones y resolver las indeterminaciones que aparezcan:

limx-x4-x3-x2+3x3+x3+xx23-x2x=-+- IND.limx-x4-x3-x2+3x3+x3+xx23-x2x=limxx·x3+x-x4-x3-x2+3x33-x2x=limxx2+2x+3x23-x2x=1 IND.limxx2+2x+3x23-x2x=limx1+x2+2x+3-x2x23-x2x=limx1+2x+3x23-x2x=limx1+1x22x+3x22x+3·2x+3x2·3-x2x=elimx2x+3x2·3-x2x=elimx2x+3·3-x2x3=elimx-2x3+x3=e-2=1e2

Ficha de fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados
limfx1+1fxfx
k±=±±+=±±·k=± Si k>0±·k= Si k<0·±=±-·±=k±=0 0=k0=
limxfxg(x)=±limxgxf(x)=0Orden f > Orden g