Enunciado

dificultad

Determina la derivabilidad de la función:

fx=x3+x2


Solución

Consideraciones previas

En la práctica, para saber si una función f(x) es derivable en un punto podemos comprobar la función tiene derivada en el punto, y esta es continua, es decir, que:

f'a=Llimxa-f'x=Llimxa+f'x=Lf'a=limxaf'x=L

Como ya habíamos indicado en otros ejercicios, conviene comenzar calculando el dominio de la función.

Finalmente... te adelantamos que la función de nuestro ejercicio es muy particular... veamos por qué.

Resolución

El dominio de esta función es:

x3+x20x2x+10

Igualando cada factor a 0 obtenemos los puntos en los que el factor puede cambiar de signo:

x2=0x=0x+1=0x=-1

Podemos hacer un cuadro con los signos de cada factor en los distintos intervalos:

-,-1-1,00,x2+++x+1-++x2x+1-++

En definitiva, Dom(f)=[-1,∞). Como veíamos en teoría, los extremos de los intervalos en los que la función está definida no forman parte de su dominio de derivabilidad, con lo que el -1∉Dom(f'). Vamos a justificar esto y a ver si hay más puntos que quitar de dicho dominio. Observa:

f'x=3x2+2x2x3+x2

Observa que ahora las raíces de x3+x2 que antes calculamos anulan el denominador. Como dichos valores no están en el dominio de f', podemos decir que la función f(x) no es derivable en ellos. Es decir, Dom(f')=(-1,∞)-{0}.

La particularidad que presenta esta función es que, a pesar de estar definida con una sola expresión analítica, el valor de x=-1 pertenece al dominio, pero no así al dominio de derivabilidad.

Ficha de fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados
f'a=Llimxa-f'x=Llimxa+f'x=Lf'a=limxaf'x=L
fx=xnf'x=n·xn-1 n
Dgfx=Dgfx=g'fx·f'x