Derivabilidad raíz de x al cubo más x al cuadrado

Consideraciones previas

En la práctica, para saber si una función f(x) es derivable en un punto podemos comprobar la función tiene derivada en el punto, y esta es continua, es decir, que:

$$\left.\begin{array}{c}f\text{'}\left(a\right)=L\\ \underset{x\to a^{-}}{\lim }f\text{'}\left(x\right)=L\\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f\text{'}\left(x\right)=L\end{array}\right\}\iff f\text{'}\left(a\right)=\underset{x\to a}{\lim }f\text{'}\left(x\right)=L$$

Como ya habíamos indicado en otros ejercicios, conviene comenzar calculando el dominio de la función.

Finalmente... te adelantamos que la función de nuestro ejercicio es muy particular... veamos por qué.

Resolución

El dominio de esta función es:

$$x^3+x^2⩾0\Rightarrow x^2\left(x+1\right)⩾0$$

Igualando cada factor a 0 obtenemos los puntos en los que el factor puede cambiar de signo:

$$\begin{gathered} x^2=0\Rightarrow x=0 \\ x+1=0\Rightarrow x=-1 \end{gathered}$$

Podemos hacer un cuadro con los signos de cada factor en los distintos intervalos:

$$\begin{array}{cccc}& \left(-\infty ,-1\right)& \left(-1,0\right)& \left(0,\infty \right)\\ x^2& +& +& +\\ x+1& -& +& +\\ {\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\left(\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{1}\right)& \mathbf{-}& \mathbf{+}& \mathbf{+}\end{array}$$

En definitiva, Dom(f)=[-1,∞). Como veíamos en teoría, los extremos de los intervalos en los que la función está definida no forman parte de su dominio de derivabilidad, con lo que el -1∉Dom(f'). Vamos a justificar esto y a ver si hay más puntos que quitar de dicho dominio. Observa:

$$f\text{'}\left(x\right)=\frac{3x^2+2x}{2\sqrt{x^3+x^2}}$$

Observa que ahora las raíces de x³+x² que antes calculamos anulan el denominador. Como dichos valores no están en el dominio de f', podemos decir que la función f(x) no es derivable en ellos. Es decir, Dom(f')=(-1,∞)-{0}.

La particularidad que presenta esta función es que, a pesar de estar definida con una sola expresión analítica, el valor de x=-1 pertenece al dominio, pero no así al dominio de derivabilidad.