Derivabilidad y dominio de derivabilidad

Consideraciones previas

En la práctica, para saber si una función f(x) es derivable en un punto podemos comprobar la función tiene derivada en el punto, y esta es continua, es decir, que:

$$\left.\begin{array}{c}f\text{'}\left(a\right)=L\\ \underset{x\to a^{-}}{\lim }f\text{'}\left(x\right)=L\\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f\text{'}\left(x\right)=L\end{array}\right\}\iff f\text{'}\left(a\right)=\underset{x\to a}{\lim }f\text{'}\left(x\right)=L$$

Las funciones que presenten un valor absoluto debemos pasarlas previamente a su forma a ramas.

Dado que las funciones del ejercicio presentan cierta complejidad, nos será de utilidad comenzar calculando el dominio de la función.

Posteriormente derivaremos cada rama de la función a trozos, y comprobaremos que no existen puntos que no estén en el dominio de la función derivada. Si los hubiera, y pertenecieran a la rama, la función no sería derivable en ellos, es decir, habría que quitarlos del dominio de derivabilidad .

Finalmente nos quedaría por comprobar la derivabilidad en los puntos de cambio de rama. Para ello comprobaremos que la función es continua en él y además que el valor de las derivadas laterales coincide.

¿Preparado?

Resolución

1.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\sqrt{\left|x\right|}+1}$$

Para resolver, lo primero que haremos será pasar la función a trozos. Igualamos la función en valor absoluto a 0 para conocer el signo de la función en cada intervalo:

$$x=0$$

Asignaremos valores a x en los distintos intervalos para pasar la función a trozos.

$$\begin{gathered} {\overline{)x}}_{x=-10}=-10<0\Rightarrow \left|x\right|=-x \text{si} x<0 \\ {\overline{)x}}_{x=10}=10>0\Rightarrow \left|x\right|=x \text{si} x>0 \end{gathered}$$

Con lo que nos queda:

$$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\sqrt{x}+1& \text{si}& x\ge 0\\ \sqrt{-x}+1& \text{si}& x<0\end{array}\right.$$

Observa que el dominio de la función es el conjunto de los reales, pues la raíz nunca se hace negativa en ninguna de las dos ramas (era lo que cabía esperar, al estar afectada por el valor absoluto en la función original). Así las cosas, el único punto problemático para la derivabilidad es x=0. Estudiaremos en primer lugar la continuidad en él, para lo que calcularemos los limites laterales:

$$\left.\begin{array}{r}\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\sqrt{x}+1=1\\ \begin{array}{c}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\sqrt{-x}+1=1\\ f\left(0\right)=1\end{array}\end{array}\right\}$$

Como los límites laterales coinciden, la función es continua en x=0. Ya podemos estudiar la derivabilidad, calculando las derivadas laterales:

$$\left.\begin{array}{r}f\text{'}\left(0^{-}\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }D\left(\sqrt{-x}+1\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{2\sqrt{-x}}·\left(-1\right)=\frac{-1}{0^{+}}=-\infty \\ f\text{'}\left(0^{+}\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }D\left(\sqrt{x}+1\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{2\sqrt{x}}·\left(1\right)=\frac{1}{0^{+}}=\infty \end{array}\right\}$$

La función no es derivable en x=0 puesto que las derivadas laterales no son un valor finito. Por tanto, la función derivada sería:

$$f\text{'}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{1}{2\sqrt{x}}& \text{si}& x>0\\ \frac{-1}{2\sqrt{-x}}& \text{si}& x<0\end{array}\right.$$

Y el dominio de derivabilidad Dom(f')=ℝ-{0}.

2.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}2x+1& \text{si}& x<0\\ 2& \text{si}& x=0\\ 2x+3& \text{si}& x>0\end{array}\right.}$$

Esta función es sencilla, pues se trata de un polinomio en cada rama. El dominio es el conjunto de los números reales. Por otro lado, si calculas la derivada de cada rama, te darás cuenta que todas las ramas son continuas (y por tanto derivables) en el conjunto de los reales...

$$\begin{gathered} D\left(2x+1\right)=2 \\ D\left(2\right)=0 \\ D\left(2x+3\right)=2 \end{gathered}$$

...con lo que el único punto problemático es el cambio de rama, x=0. Estudiamos la continuidad de la función en él, como ya sabéis, calculando los límites laterales:

$$\left.\begin{array}{r}\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }2x+1=1\\ \begin{array}{c}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }2x+3=3\\ f\left(0\right)=2\end{array}\end{array}\right\}$$

Como los limites laterales son distintos uno de otro, podemos decir que la función no es continua, por lo que tampoco podrá ser derivable. Si nos pidieran la derivada:

$$f\text{'}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}2& \text{si}& x<0\\ 2& \text{si}& x>0\end{array}=2 \text{si} x\ne 0\right.$$

Y el dominio de derivabilidad quedaría Dom(f')=ℝ-{0}.

3.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}{e}^{x+1}-1& \text{si}& x\ge -1\\ \left(x+1\right)e^{-{\left(x+1\right)}^2}& \text{si}& x<-1\end{array}\right.}$$

El dominio de la función es el conjunto de números reales. Si derivamos cada rama nos queda...

$$\begin{gathered} D\left(e^{x+1}-1\right)=e^{x+1} \\ D\left(\left(x+1\right)·e^{-{\left(x+1\right)}^2}\right)=e^{-{\left(x+1\right)}^2}+\left(x+1\right)e^{-{\left(x+1\right)}^2}·\left[-2\left(x+1\right)·\left(-1\right)\right] \end{gathered}$$

Como todas las derivadas están definidas en el conjunto de los reales (sí, la segunda también a pesar de ser tan engorrosa), el único punto problemático, es el del cambio de rama x=-1. Estudiamos la continiudad de la función:

$$\left.\begin{array}{r}\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1^{+}}{\lim }{e}^{x+1}-1 =e^0-1=0\\ \begin{array}{c}\underset{x\to -1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\left(x+1\right)e^{-{\left(x+1\right)}^2}=0\\ f\left(-1\right)=0\end{array}\end{array}\right\}$$

...y nos damos cuenta que la función es continua en x=-1. Asi que estudiamos la derivabilidad en el mismo punto:

$$\left.\begin{array}{r}f\text{'}\left(-1^{+}\right)=\underset{x\to -1^{+}}{\lim }D\left(e^{x+1}-1\right)=\underset{x\to -1^{+}}{\lim }{e}^{x+1} =e^0=1\\ \begin{array}{c}f\text{'}\left(-1^{-}\right)=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }D\left(\left(x+1\right)e^{-{\left(x+1\right)}^2}\right)=\\ \begin{array}{c}=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }{e}^{-{\left(x+1\right)}^2}+\left(x+1\right)e^{-{\left(x+1\right)}^2}·\left[-2\left(x+1\right)\right]·\left(-1\right)\begin{array}{}\end{array}=\\ \begin{array}{c}{e}^0+0=1\\ \end{array}\end{array}\end{array}\end{array}\right\}$$

Podemos decir que la función es derivable en x=-1. El valor de la derivada sería:

$$f\text{'}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}{e}^{x+1}& \text{si}& x\ge -1\\ e^{-{\left(x+1\right)}^2}\left(1+2{\left(x+1\right)}^2\right)& \text{si}& x<1\end{array}\right.$$

Y el dominio de derivabilidad Dom(f')=ℝ-{0}.

4.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccccc}\frac{x}{2-\left|x\right|}& \text{si}& x\ne -2& \text{y}& x\ne 2\\ 0& \text{si}& x=-2& \text{o}& x=2\end{array}\right.}$$

Primeramente hemos de igualar la función en valor absoluto a 0 para convertirla en su "versión" a trozos:

$$x=0$$

Asignamos valores a la x en los distintos intervalos:

$$\begin{gathered} {\overline{)x}}_{x=-1}=-1<0\Rightarrow \left|x\right|=-x \text{si} x<0 \\ {\overline{)x}}_{x=1}=1>0\Rightarrow \left|x\right|=x \text{si} x>0 \end{gathered}$$

...y obtenemos:

$$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cccccc}\frac{x}{2+x}& \text{si}& x<0& \text{y}& x\ne -2& \\ \frac{x}{2-x}& \text{si}& x\ge 0& \text{y}& x\ne 2& \\ 0& \text{si}& x=-2& \text{o}& x=2& \end{array}\right.$$

El dominio de la función es el conjunto de los reales. Observa que, los valores que anulan los denominadores no forman parte de la rama correspondiente. En cualquier caso, para ser precisos en primer lugar habría que calcular la derivabilidad de cada rama. Comenzamos derivándolas:

$$\begin{gathered} D\left(\frac{x}{2+x}\right)=\frac{2}{{\left(2+x\right)}^2} \\ D\left(\frac{x}{2-x}\right)=\frac{2}{{\left(2-x\right)}^2} \\ D\left(0\right)=0 \end{gathered}$$

De nuevo, los puntos que anulan los denominadores no corresponden a las ramas respectivas. Así las cosas, nos centramos en los puntos de cambio de rama. Comenzamos por la continuidad en x=0...

$$\left.\begin{array}{r}\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x}{2+x} =0\\ \begin{array}{c}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x}{2-x} =0\\ f\left(0\right)=0\end{array}\end{array}\right\}$$

...en x=-2...

$$\left.\begin{array}{c}\begin{array}{r}\underset{x\to -2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\frac{x}{2+x} =\frac{-2^{-}}{2+(-2^{-})}=\frac{-2^{-}}{0^{-}}=\infty \\ \begin{array}{c}\underset{x\to -2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -2^{+}}{\lim }\frac{x}{2+x}=\frac{-2^{+}}{2+(-2^{+})} =\frac{-2^{+}}{0^{+}}=-\infty \\ f\left(-2\right)=0\end{array}\end{array}\\ \end{array}\right\}$$

y en x=2...

$$\left.\begin{array}{c}\begin{array}{r}\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x}{2-x} =\frac{2^{-}}{2-\left(2^{-}\right)}=\frac{2^{-}}{0^{+}}=-\infty \\ \begin{array}{c}\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x}{2-x}=\frac{2^{+}}{2-\left(2^{+}\right)} =\frac{2^{+}}{0^{-}}=\infty \\ f\left(2\right)=0\end{array}\end{array}\\ \end{array}\right\}$$

Como puede observarse, la función solo es continua en el punto x=0, con lo que descartamos que sea derivable en x=-2 y en x=2. Estudiamos la derivabilidad en ese punto:

$$\left.\begin{array}{r}f\text{'}\left(0^{-}\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }D\left(\frac{x}{2+x}\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{2}{{\left(x+2\right)}^2}=\frac{1}{2}\\ f\text{'}\left(0^{+}\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }D\left(\frac{x}{2-x}\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{2}{{\left(x-2\right)}^2}=\frac{1}{2}\end{array}\right\}$$

La función es derivable en el punto x=0, quedando la función derivada...

$$f\text{'}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{2}{{\left(2+x\right)}^2}& \text{si}& x<0 \text{y} x\ne -2\\ \frac{2}{{\left(2-x\right)}^2}& \text{si}& x\ge 0 \text{y} x\ne 2\end{array}\right.$$

El dominio de derivabilidad sería $Do{m}_{f\text{'}}=\mathrm{ℝ}-\left\{2,-2\right\}$.

5.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\ln \left(x-2\right)& \text{si}& x<3\\ 3x-9& \text{si}& x\ge 3\end{array}\right.}$$

Comenzamos buscando el dominio de la función. Sabemos que el argumento de un logaritmo debe ser mayor que cero, con lo que x-2>0 en la primera rama. En la segunda estarían incluidos todos los reales, al ser un polinomio de primer grado. Así pues, Dom(f)=(-2,∞). Hacemos la derivada de cada rama, para buscar posibles puntos adicionales a quitar de dichas ramas:

$$\begin{gathered} D\left(\ln \left(x-2\right)\right)=\frac{1}{x-2} \\ D\left(3x-9\right)=3 \end{gathered}$$

Observa que el x=2 anula la derivada de la primera rama. No obstante, como dicho valor no está en el dominio de la función ya sabíamos que la función no era derivable en él. Vamos al cambio de rama. Estudiamos la continuidad en x=3:

$$\left.\begin{array}{r}\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\ln \left(x-2\right)=\ln \left(1\right)=0\\ \begin{array}{c}\underset{x\to 3^{+}}{\lim }3x-9=0\\ f\left(3\right)=0\end{array}\end{array}\right\}$$

Esta función es continua en el punto x=3. Comprobamos si es derivable:

$$\left.\begin{array}{r}f\text{'}\left(3^{-}\right)=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }D\left(\ln \left(x-2\right)\right)=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{1}{x-2}=1\\ \begin{array}{c}f\text{'}\left(3^{+}\right)=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }D\left(3x-9\right)=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }3=3\\ \end{array}\end{array}\right\}$$

La función no es derivable en ese punto. Por tanto, la derivada quedaría:

$$f\text{'}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{1}{x-2}& \text{si}& -2<x<3\\ 3& \text{si}& x>3\end{array}\right.$$

Y el dominio de derivabilidad Dom(f')=(-2,∞)-{3}.

6.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}{e}^x-1& \text{si}& x\le 0\\ 0& \text{si}& 0<x<3\\ -x^2+3x+1& \text{si}& x\ge 3\end{array}\end{array}\right.}$$

El dominio de la función no presenta ningún problema, es decir, es el conjunto de los reales. Tampoco hay problemas en las derivadas de cada rama:

$$\begin{gathered} D\left(e^x-1\right)=e^x \\ D\left(0\right)=0 \\ D\left(-x^2+3x+1\right)=-2x+3 \end{gathered}$$

Estudiamos la continuidad de la función primeramente en el punto de cambio de rama x=0:

$$\left.\begin{array}{r}\underset{x\to 0^{-}}{\lim }{e}^x-1=0\\ \begin{array}{c}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }0=0\\ f\left(0\right)=0\end{array}\end{array}\right\}$$

Es continua, asi que nos preguntamos si es derivable en ese punto

$$\left.\begin{array}{r}f\text{'}\left(0^{-}\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }D\left(e^x-1\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }{e}^x=1\\ f\text{'}\left(0^{+}\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }D\left(0\right)=0\end{array}\right\}$$

Esta función es continua pero no derivable en el punto x=0, ahora aplicaremos el mismo método en el punto x=3

$$\left.\begin{array}{r}\underset{x\to 3^{-}}{\lim }0=0\\ \begin{array}{c}\underset{x\to 3^{+}}{\lim }-x^2+3x+1=1\\ f\left(3\right)=1\end{array}\end{array}\right\}$$

La función no es continua en el punto x=3, por lo que tampoco es derivable en él. La función derivada quedaría:

$$f\text{'}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}{e}^x& \text{si}& x<0\\ 0& \text{si}& 0<x<3\\ -2x+3& \text{si}& x>3\end{array}\right.$$

Y el dominio de derivabilidad Dom(f')=ℝ-{0,3}.