Momento de un vector respecto a eje dado por su ecuación continua

Datos

• $\overrightarrow{V}=\overrightarrow{i}-3·\overrightarrow{j}$ 
• $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{i}-\overrightarrow{k}$
• Eje dado por la ecuación: $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{2}=z-3$

Consideraciones previas

La ecuación dada está en forma continua. La forma continua viene dada por la expresión:

$$\frac{x-x_i}{v_x}=\frac{y-y_i}{v_y}=\frac{z-z_i}{v_z}$$ 

Identificando términos podemos obtener un punto perteneciente a la recta y su vector director:

$$\begin{gathered} P\left(1,2,3\right) \\ \overrightarrow{v}=2·\overrightarrow{i}+2·\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}\Rightarrow {\overrightarrow{u}}_v=\frac{2}{3}·\overrightarrow{i}+\frac{2}{3}·\overrightarrow{j}+\frac{1}{3}·\overrightarrow{k} \end{gathered}$$

Ojo, no confundas $\overrightarrow{v}$, el vector director de la recta, con $\overrightarrow{V}$ el vector cuyo momento respecto al eje tenemos que calcular.

Resolución

Comenzamos calculando el momento del vector respecto al punto P, del eje. Para ello primeramente es necesario determinar el vector de posición de $\overrightarrow{V}$  respecto a P:

$${\overrightarrow{r}}_{Vp}=\overrightarrow{r}-\overrightarrow{P}=\overrightarrow{i}-\overrightarrow{k}-\left(\overrightarrow{i}+2·\overrightarrow{j}+3·\overrightarrow{k}\right)=2·\overrightarrow{j}-4·\overrightarrow{k}$$

$${\overrightarrow{M}}_P=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ 0& 2& -4\\ 1& 0& -3\end{array}\right|=-6·\overrightarrow{i}-4·\overrightarrow{j}-2·\overrightarrow{k}$$

Proyectando dicho vector sobre el eje obtenemos el momento respecto al eje buscado:

$$M_e={\overrightarrow{M}}_P·{\overrightarrow{u}}_v=\left(-6·\overrightarrow{i}-4·\overrightarrow{j}-2·\overrightarrow{k}\right)·\left(\frac{2}{3}·\overrightarrow{i}+\frac{2}{3}·\overrightarrow{j}+\frac{1}{3}·\overrightarrow{k}\right)=\frac{-22}{3}$$

Finalmente, si lo que buscas es la expresión vectorial del momento respecto al eje:

$${\overrightarrow{M}}_e=M_e·{\overrightarrow{u}}_v=\frac{-22}{3}·\left(\frac{2}{3}·\overrightarrow{i}+\frac{2}{3}·\overrightarrow{j}+\frac{1}{3}·\overrightarrow{k}\right)=\frac{-44}{9}·\overrightarrow{i}-\frac{44}{9}·\overrightarrow{j}-\frac{22}{9}·\overrightarrow{k}$$