Ángulo formado por dos vectores en 2 dimensiones

Datos

• $\begin{array}{c}\overrightarrow{a}= -2·\overrightarrow{i} + 3·\overrightarrow{j}\end{array}$
• $\begin{array}{c}\overrightarrow{b}= -4·\overrightarrow{i} + 3·\overrightarrow{j}\end{array}$

Resolución

La definición de producto escalar nos permite el cálculo del ángulo que forman los vectores:

$$\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=a·b·\cos \left(\alpha \right)\Rightarrow \cos \left(\alpha \right)=\frac{\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}}{ab}$$

Calculemos los módulos de los vectores y el producto escalar:

$$\begin{gathered} a=\sqrt{{a_x}^2+{a_y}^2}=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+{\left(3\right)}^2}=\sqrt{13} \\ b=\sqrt{{b_x}^2+{b_y}^2}=\sqrt{{\left(-4\right)}^2+{\left(3\right)}^2}=5 \end{gathered}$$

$$\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=a_x·b_x+a_y·b_y=\left(-2\right)\left(-4\right)+3·3=17$$

Ahora ya estamos en condiciones de calcular el coseno del ángulo que forman...

$$\cos \left(\alpha \right)=\frac{\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}}{ab}=\frac{17}{\sqrt{13}·5}=0.942$$

…y por tanto el ángulo que forman:

$$\alpha ={\cos }^{-1}\left(0.942\right)=0.339 \text{rad}=19.44º$$