La función compuesta es aquella que se obtiene mediante una operación denominada composición de funciones, que consiste en aplicar de manera sucesiva las funciones que forman parte de la operación. Así, la función compuesta de f(x) y g(x) es otra función obtenida aplicando g a las imágenes de f.

concepto de función compuesta

Concepto de composición de funciones

Aplicando sucesivamente la función f(x) y la función g(x) sobre los valores de x obtenemos el mismo resultado que si aplicásemos directamente una función gfx sobre los valores de x. A esta función se la denomina función compuesta de f y g.

En la parte inferior de la ilustración, un ejemplo concreto aplicado a x=3 con las funciones f(x)=x2 y g(x)=x+2 representadas conceptualmente por dos máquinas de distintos colores.

En este apartado vamos a profundizar en el estudio de esta operación a través de los siguientes puntos:

¿Empezamos?

Definición

Se define la función compuesta de dos funciones f(x) y g(x) cualesquiera, y designada por gfx, a la función que transforma x en g[f(x)]:

xffxggfx=gfx

Donde:

  • gfx: Se lee f compuesta con g. Es la propia función compuesta que permite transformar directamente x en g[f(x)]

Observa que la función gfx se lee "f compuesta con g ", a pesar de ser g la primera que aparece. La razón es que es en realidad f la primera que se aplica. De manera complementaria, fgx se leería "g compuesta con f ".

¿Cómo se calcula?

Para realizar la composición propiamente dicha de dos funciones ilustramos el proceso con el ejemplo con el que abríamos el apartado: siendo f(x)=x2 y g(x)=x+2, podemos calcular gfx sin más que sustituir f(x) en los lugares donde pone x en g(x), es decir:

gfx=gfx=gx2=x+2xx2=x2+2

Observa que en general gfxfgx. En el ejemplo:

fgx=fgx=fx+2=x2xx+2=x+22=x2+4x+4

Dominio

El dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales está definida. En el caso de la función compuesta (g ∘ f)(x), este depende de los dominios de las funciones f y g.

Observa, que al hacer g∘f, actúa en primer lugar f sobre x, y posteriormente g sobre f(x), es decir:

xffxggfx=gfx

Por tanto, el dominio de la función compuesta debe satisfacer simultáneamente las condiciones que le imponga la primera función que actúe (xDomf), y los de la segunda, teniendo en cuenta que esta última actúa f(x) y no sobre x (fxDomg).

El dominio de la función compuesta (g ∘ f)(x) es el conjunto:

Domgf : xDomf  fxDomg

Donde:

  • El símbolo ∧ representa la condición "y", es decir, la intersección de los conjuntos de valores obtenidos al aplicar cada condición

Y eso es todo, aunque podemos profundizar un poco en esta idea contándote que pueden darse dos casos:

  • Que el recorrido de la primera función esté incluido en el dominio de la segunda. En este caso el dominio de la función compuesta coincide con el de la primera función.

    Domgf=Domf

    Dominio de la función compuesta cuando el recorrido de la primera función está incluido en la segunda

    Dominio función compuesta

    En la ilustración aparecen los dominios y recorridos de f y g. Como puedes ver, el recorrido de f está íntegramente incluido en el dominio de g, con lo que el dominio de f y de g ∘ f coinciden.

  • Que el recorrido de la primera función no esté incluido en el dominio de la segunda. En este caso el dominio de la función compuesta serían aquellos valores de la primera función que son antiimagen de los valores del dominio de la segunda:

    Domgf=Domff-1Domg

    Dominio de la función compuesta cuando el recorrido de la primera función no está incluido en la segunda

    Dominio función compuesta

    En la ilustración aparecen los dominios y recorridos de f y g. Como puedes ver, el recorrido de f no está íntegramente incluido en el dominio de g, con lo que el dominio de g ∘ f es un subconjunto de f: el de aquellos elementos que tienen imagen en el dominio de g.

En la expresión anterior aparece f-1. Se trata de la función inversa, que vamos a estudiar en el apartado inmediatamente posterior del tema. De momento te bastará con saber que, de manera complementaria a f(x), que nos permite pasar de un valor del dominio a su imagen (que es un valor del recorrido), la función inversa f-1(x), nos permite pasar de un valor del recorrido a su antiimagen (que es un valor del dominio).

Propiedades

  • No conmutativa: gffg

    Es decir, tal y como habíamos señalado anteriormente, el orden en que aplicamos la composición generalmente condicione el resultado obtenido

  • Asociativa: hgf=hgf

    Es decir, dadas 3 funciones cualesquiera, se obtiene igual resultado componiendo la primera (f) y la segunda (g), y componiendo posteriormente el resultado con la tercera (h), que componiendo la segunda (g) y la tercera (h) y componiendo posteriormente la primera (f) con el resultado obtenido

Por otro lado, recuerda que el elemento neutro de una operación es aquel que, al ser operado con cualquier elemento, lo deja igual, es decir, aquel que hace que la operación tenga un efecto neutro. En el caso de la composición de funciones, el elemento neutro es la función identidad I(x)=x.

fI=If=f

Observa que para el caso concreto de la función identidad si se cumple la propiedad conmutativa.

Por otro lado, dada una función cualquiera f(x) y una operación (en este caso la composición de funciones), otro elemento importante es el elemento simétrico de f(x). Se trata de aquella función que, al operarse con f(x) da como resultado el elemento neutro, es decir, la función identidad en este caso. El elemento simétrico de la composición de funciones es la función inversa, que pasamos a estudiar en el siguiente apartado del tema.

Y ahora... ¡Ponte a prueba!

Ficha de ejercicios resueltos

Aquí puedes poner a prueba lo que has aprendido en este apartado.

Componer funciones

dificultad

Realiza las siguientes composiciones de funciones:

  • fx=x2+5x-3 ;gx=x2 fgx , gfx, gf1
  • fx=cosx ;gx=x2 fgx , gfx , ggx
  • fx=3x ;gx=x3 fg , gf , gg en x=2
  • fx=lnx+2 ;gx=1x "f compusta con g" y "g compuesta con f"

Funciones compuestas, tablas y gráficas

dificultad

A partir de la siguiente tabla, calcula los valores pedidos:

  x=1 x=2 x=3 x=4
f(x) 3 1 2 4
g(x) 4 3 2 1
  1. fg2
  2. gf2
  3. ff1
  4. fgf3

Repite luego el proceso pero considerando los datos de la siguiente imagen, en lugar de los de la tabla:

Dos funciones para el cálculo de las funciones compuestas en puntos pedidos

Expresar una función como compuesta

dificultad

Encuentra las siguientes expresiones a través de la composición de dos funciones distintas:

  1. hx=3x+2
  2. hx=3x4+x2+1

Encontrar una función componente de la compuesta

dificultad

Busca la función pedida en cada caso:

  1. fg=x+3 ;fx=2x ;¿gx?
  2. fg=x+ln13x+11 ;fx=x+22 ;¿gx?

Dominio de la función compuesta

dificultad

Calcula las siguientes funciones compuestas y su dominio:

  • fx=x+3 ;gx=x2-2x-1 ;fg
  • fx=x-1;gx=3x+1;fg y gf
  • fx=xx+2;gx=1x-1;fg
  • fx=x-3;gx=xx+2;fg
  • fx=-3x2-2;gx=x+1x;gf

¿Encuentras algo de especial en este último caso?

Ficha de fórmulas

Aquí tienes un completo formulario del apartado Función Compuesta. Entendiendo cada fórmula serás capaz de resolver cualquier problema que se te plantee en este nivel.

Pulsa sobre el icono   para exportarlas a cualquier programa externo compatible.

Función compuesta

xffxggfx=gfx

Dominio de la función compuesta

Dom_{g\circ f}=\:\left\{x\in Dom_f\;\vert\;f\left(x\right)\in Dom_g\right\}

Ficha de apartados relacionados

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