Multiplicación de Funciones

En tu día a día probablemente estas acostumbrado a combinar dos números cualesquiera a través de la multiplicación, obteniendo así uno nuevo. De manera análoga también, es posible multiplicar funciones para obtener una función nueva. Por ejemplo:

$$\begin{array}{c}f\left(x\right)=x+2\\ g\left(x\right)=\frac{1}{x}\end{array}\Rightarrow f\left(x\right)·g\left(x\right)=\frac{x+2}{x}$$

En este apartado vamos a profundizar en las particularidades de esta operación a través de los puntos:

• Definición
• Propiedades

Definición

Presta atención al hecho de que, al igual que sucedía con la suma y con la resta, el dominio de la función producto es el conjunto intersección de los dominios de las funciones f y g, de manera que si este fuese el conjunto vacío ∅, la nueva función carecería de dominio, es decir, no existiría. Esta es una diferencia fundamental con los números reales, dónde la multiplicación de dos números cualesquiera siempre existe.

Propiedades

• Conmutativa: $f·g=g·f$

  Es decir, el orden en que operes es indiferente. Es una propiedad que también se cumple en los números reales: 3·2=2·3 = 6

• Asociativa: $\left(f·g\right)·h=f·\left(g·h\right)$

  Es decir, dadas 3 funciones cualesquiera, se obtiene igual resultado multiplicando la primera (f) y la segunda (g), y este resultado multiplicándolo por la tercera (h), que haciendo el producto de la segunda (g) y la tercera (h) y al resultado multiplicar la primera (f). Observa que esta propiedad se cumple también en los números reales: (4·3)·2=4·(3·2) = 24

• Distributiva respecto de la suma: $f·\left(g+h\right)=f·g+f·h$

  En una analogía con los números reales podríamos escribir: 3·(4+2) = 3·4 + 3·2 = 18

Cuando veíamos la suma de funciones presentábamos el concepto de elemento neutro y el de elemento simétrico de manera general, y luego particularizábamos para el caso de dicha operación.

El elemento neutro o elemento identidad de una operación, decíamos, es el elemento que, al operarlo con cualquier otro elemento, en este caso con cualquier otra función, da como resultado la propia función. Es decir, se trata del elemento que tiene un efecto neutro al aplicar con cualquier otro elemento la operación para la cual se define.

Por otro lado, un elemento simétrico de otro es aquel que al operarlo con este da como resultado el elemento neutro. Pues bien, con este breve repaso en mente, nos queda:

• Elemento neutro: $f\left(x\right)=1$

  Es decir, el elemento neutro del producto de funciones, denotado a veces f₁, es la función constante f(x)=1, ya que al multiplicarla con cualquier otra función da como resultado la propia función: g(x)·1=g(x). Siguiendo con nuestras analogías, en el mundo de los números reales, y para la operación producto, el elemento neutro es el número 1

• Elemento simétrico: $f\left(x\right)\Rightarrow \frac{1}{f\left(x\right)}$

  A la función 1/f(x) se la suele denominar inversa respecto a la multiplicación, y también inversa multiplicativa o recíproca respecto al producto. No debes confundirla con la función inversa, que se refiere normalmente a la función inversa respecto a la operación de composición de funciones. No todas las funciones tienen una inversa respecto a la multiplicación. Ten en cuenta que para aquellos valores de x que hacen f(x)=0 es imposible encontrar un elemento simétrico g(x) tal que f(x)·g(x) = 1 (ya que para esos valores f(x)=0). Esto implica que, como cabía esperar, el dominio de 1/f es:

  $$Do{m}_{\frac{1}{f}}=Do{m}_f-\left\{x\in Do{m}_f | f\left(x\right)=0\right\}$$

  Por otro lado, en el mundo de los números reales, y para la operación producto, el elemento simétrico de cualquier otro (salvo del 0, que no tiene) es su inverso: el inverso del 3 es el 1/3 porque 3·(1/3) = 1