Suma y Resta de Funciones

A estas alturas de tus estudios, seguro que sabes que puedes combinar dos números cualesquiera, a través de la suma y de la resta, para obtener un número nuevo. De manera análoga también es posible sumar y restar funciones para obtener una función nueva. Por ejemplo:

$$\begin{array}{c}f\left(x\right)=x+2\\ g\left(x\right)=\frac{1}{x}\end{array}\Rightarrow \begin{array}{c}f\left(x\right)+g\left(x\right)=x+2+\frac{1}{x}\\ f\left(x\right)-g\left(x\right)=x+2-\frac{1}{x}\end{array}$$

En este apartado vamos a profundizar en las particularidades de estas operaciones a través de los siguientes puntos:

• Suma
• Resta

¿Preparado para operar?

Suma

Observa que el dominio de la función suma es el conjunto intersección de los dominios de las funciones f y g, de manera que si este fuese el conjunto vacío ∅, la nueva función carecería de dominio, es decir, no existiría. Esta es una diferencia fundamental con los números reales, dónde la suma de dos números cualesquiera siempre existe.

Propiedades

• Conmutativa: $f+g=g+f$

  Es decir, el orden en que operes es indiferente. Es una propiedad que también se cumple en los números reales: 3+2=2+3 = 5

• Asociativa: $\left(f+g\right)+h=f+\left(g+h\right)$

  Es decir, dadas 3 funciones cualesquiera, se obtiene igual resultado sumando la primera (f) y la segunda (g), y a este resultado sumando la tercera (h), que sumado la segunda (g) y la tercera (h) y al resultado sumar la primera (f). Observa que esta propiedad se cumple también en los números reales: (3+2)+1=3+(2+1) = 6

Puede que no estés muy familiarizado con el concepto de elemento neutro o elemento identidad por un lado, y el de elemento simétrico de otro. Ambos se definen para una operación determinada (vamos a presentarlos para la suma, en este caso).

Dicho de un modo simple, el elemento neutro o elemento identidad de la suma de funciones es aquel que al operarlo con cualquier otro elemento, en este caso cualquier otra función, da como resultado la propia función. Como ves, es el elemento que tiene un efecto neutro al aplicar con cualquier otro elemento la operación para la cual se define.

Por otro lado, un elemento simétrico de otro es aquel que al operarlo con este da como resultado el elemento neutro. Pues bien, hechas estas precisiones nos queda:

• Elemento neutro: $f\left(x\right)=0$

  Es decir, el elemento neutro de la suma de funciones, denotado a veces f₀ es la función constante f(x)=0, ya que al sumarla con cualquier otra función da como resultado la propia función: g(x)+0=g(x). Siguiendo con nuestras analogías, en el mundo de los números reales, y para la operación suma, el elemento neutro es el número 0

• Elemento simétrico: $f\left(x\right)\Rightarrow -f\left(x\right)$

  Es decir, dada una función cualquiera f, su función opuesta es el elemento simétrico respecto a la suma de funciones ya que: f(x)+[-f(x)]=0=f₀. En el mundo de los números reales, y para la operación suma, el elemento simétrico de cualquier otro es su opuesto: el opuesto del 3 es el -3 porque 3+(-3) = 0)

Resta

De igual manera al caso de la suma, la resta puede no estar definida en ciertos casos. De hecho, la resta se puede considerar un caso particular de la suma de funciones:

$$f-g=f+\left(-g\right)$$